在不等式应用中,经常涉及质量、面积、体积等,也涉及某些数学对象(如实数、向量)的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。
公式:||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|
几何意义:
1、当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2、当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离)
(一)几何意义法
例如:求不等式|x|<1的解集
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合,
所以不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}。
(二)讨论法
例如:求不等式|x|<1的解集
①当x≥0时,原来的不等式可以化为x<1,∴0≤x<1。
②当x<0时,原来的不等式可以化为-x<1,∴-1<x<0。
综上所述,不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}。
(三)平方法
例如:求不等式|x|<1的解集
把原不等式的两边平方可以得到:x2<1,即x2-1<0,即(x+1)(x-1)<0
即-1<x小于1,∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}。
(四)函数图像法
例如:求不等式|x|<1的解集
从函数观点看,不等式|x|<1的解集表示函数y=|x|的图像位于y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围。所以不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}。