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    高中数学常用的等价无穷小关系 公式有哪些

    文/周传杰

    常用等价无穷小公式=1-cosx。等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。

    初三配图4.jpg

    重要等价无穷小的公式

    (1)sinx~x

    (2)tanx~x

    (3)arcsinx~x

    (4)arctanx~x

    (5)1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1

    (6)(a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna)

    (7)(e^x)-1~x

    (8)ln(1+x)~x

    (9)(1+Bx)^a-1~aBx

    (10)[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x

    (11)loga(1+x)~x/lna

    (12)(1+x)^a-1~ax(a≠0)

    常见的等价无穷小有什么

    常见的等价无穷小有:sinx~x;tanx~x;arctanx~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;eˣ-1~x;aˣ-1~xlna(a>0,a≠1)。

    采用泰勒展开的高阶等价无穷小:

    sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3)

    cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!+o(x^4)

    tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

    arcsinx=x+(1/6)x^3+o(x^3)

    arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

    In(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)

    e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+o(x^3)

    (1+x)^a=1+ax+a(a-1)(x^2)/2+o(x^2)

    求极限时

    使用等价无穷小的条件:

    被代换的量,在取极限的时候极限值为0;

    被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。

    什么是无穷小

    无穷小就是以数零为极限的变量。

    确切地说,当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x0)=0),则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

    例如,f(x)=(x-1)2是当x→1时的无穷小量,f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量,f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

    这里值得一提的是,无穷小是可以比较的:

    假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小,

    如果lim b/a=0,就说b是比a高阶的无穷小,记作b=o(a)

    如果lim b/a=∞,就是说b是比a低阶的无穷小。

    比如b=1/x^2, a=1/x。x-\u003e无穷时,通俗的说,b时刻都比a更快地趋于0,所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶,因为c更快地趋于0了。

    如果lim b/a^n=常数C≠0(k\u003e0),就说b是关于a的n阶的无穷小, b和a^n是同阶无穷小。

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