三棱锥相关内容介绍
外心
若O是△ABC的外心,则OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC(射影的定义),因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA,tanPBO=OP/OB,tanPCO=OP/OC,由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。
综上,可得到以下定理:
1.当三棱锥的三条侧棱相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
2.当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的外心。
内心
若O是△ABC的内心,则O到三边距离相等,且O在△ABC内。设O到BC、AC、AB的垂线段分别为OD、OE、OF,那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD,tanPEO=OP/OE,tanPFO=OP/OF,因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。且由三垂线定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB,即∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。
综上,可得到以下定理:
1.当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等,且顶点在底面的射影在底面三角形的内部,那么射影是内心。
2.当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等,且顶点在底面的射影在底面三角形的内部,那么射影是内心。