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函数有界就是指在函数的定义域内，这个函数的所有函数值的绝对值不会比某个固定的正数M大。显然这个固定的正数M不是唯一的，比如若有一个正数M1满足条件，则任何一个大于M1的正数M2也满足条件，都可以作为定义里的固定数M，就像举的例子sinx那样。
函数有界是什么意思
函数有界性的定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D ，则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。外界函数有界，复合函数必有界。
函数有界，从几何意义看就是图形被框定在两条平行于x轴的直线之间，不会跑出去；从代数意义看，就是函数值不会趋于正无穷大，也不会趋于负无穷大；当时并不意味着有极限，比如y=sinx，被框定在y=±1这两条直线之间，x→∞时，sinx游走于[-1,+1]之间。
函数有界和极限存在的关系
一、本质不同
1、极限：某一个函数中的某一个变量，在不断变化的过程中逐渐接近于某个值A。它不可能与a相吻合（“不等于a，但等于a”足以获得高精度的计算结果）。
这个变量的变化被人为地定义为“永远靠近而不停止”。它的趋势是“不断地极为靠近A点的趋势”。
2、函数有界：如果有两个常数m和M，函数y=f（x），x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D，函数y=f（x）有界于d，其中m为下界，M为上界。
二、几何中的应用不同
1、函数有界有界
（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
（2）从几何学的角度很容易判别一个函数有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
2、极限
当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的Xn都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。
换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。