元素与集合之间的关系主要有两种:属于和不属于。具体来说:属于。如果一个元素a是集合A中的元素,我们就说a属于集合A,记作a∈A。不属于。如果一个元素a不是集合A中的元素,我们就说a不属于集合A,记作a∉A。
集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是集合的元素,或者是不是。对于一个给定的集合,集合中的元素是唯一的,即任何两个元素都是不同的对象。如果一个集合中出现了重复的元素,可以使用多重集来表示。此外,集合中的元素之间没有必然的顺序,判定两个集合是否相同,只需要比较他们的元素是否一样,不需考察排列顺序是否一样。
集合(英语:Set,或简称集)指具有某种特定性质的事物的总体,或是一些确认对象的汇集。元素是指构成集合的事物或对象。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。
元素通常用a、b、c、d、x等小写字母来表示;而集合通常用A、B、C、D、X等字母来表示。若然 x 是集合 A 的元素,记作 x ∈ A;若然 x 不是集合 A 的元素,记作 x ? A。集合的无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。
集合的互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。集合的确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。
元素与集合的区别主要体现在以下几个方面:
组成关系:集合是由元素组成的,每个元素都是集合的一个成员。
确定性:集合中的元素必须是确定的,即要么属于某个集合,要么不属于。
互异性:集合中的元素必须是互不相同的,相同的对象在集合中只算作一个元素。
无序性:集合中的元素没有先后顺序,判定两个集合是否相同只需比较它们的元素是否一样,不需考察排列顺序。
逻辑性:集合的三个特性(确定性、互异性、无序性)使集合本身具有了确定性和整体性。
基数:集合中的元素数量称为集合的基数,有限集合的基数是元素的个数,无限集合的基数称为“阿列夫 0”。