三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形,在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形(三条边都不相等),等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形);按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等,其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
外角和定理:
三角形任意一个外角等于不相邻两个内角的和。
边长关系:
三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
即三边a、b、c关系为:
a+b>c; a+c>b; c+b>a
a-b<c; a-c<b; c-b<a
在直角三角形中三边关系:
勾股定理:
在直角三角形中,两直角边和平方和等于斜边的平方。
即在直角三角形中:
a^2+b^2=c^2
勾股定理逆定理:
若在一个三角形中,两条较短边的平方和等于最长边的平方,那么这个三角形为直角三角形。
即若 a^2+b^2=c^2
则这个三角形为直角三角形,
且c边所对的角为90度
三角函数
对应特殊角的三角函数
在直角三角形中30度,45度,60度角特殊角,所对应的三角函数值:
sin30=1/2 cos30=√3/2
sin45=√2/ 2 cos45=√2/ 2
sin60= √3/ 2 cos60=1/2
tan30=√3/ 3 tan45=1
tan60= √3
全等三角形
定义:三边对应相等,三个角对应相等 的两个三角形全等。
性质:全等三角形对应边相等,对应角 相等
判定定理:
①若两个三角形两边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。
简称:SAS
②如果两个三角形,两角及其夹边对应相等则这两个三 角形全等。
简称:ASA
③如果两个三角形两角对应相等,且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。
简称: AAS
④如果两个三角形,三条边对应相等则这两个三角形全等。简称:SSS
⑤两个直角三角形,有一组直角边和一组斜边对应相等,则这两个三角形全等。
1 、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中,若一个角等于30度,则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。
勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c² ,那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面积相等。
13、 底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上(三线合一)。
16、 在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边。