三角函数的二倍角公式
Sin2a=2Sina*Cosa
Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1
tan2a=(2tana)/(1-tana^2)
二倍角公式推导过程
①正弦二倍角公式:
sin2α=2cosαsinα
推导:sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa
拓展公式:sin2a=2sinacosa=2tanacosa^2=2tana/[1+tana^2] 1+sin2a=(sina+cosa)^2
②余弦二倍角公式:
余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价:
1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]
2.Cos2a=1-2Sina^2
3.Cos2a=2Cosa^2-1
推导:cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2。
③正切二倍角公式:
tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]
推导:tan2a=tan(a+a)=(tana+tana)/(1-tanatana)=2tana/[1-(tana)^2]。
三角函数的半角公式
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))
在二角和的公式中令两个角相等(B=A),就得到二倍角公式。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB〉sin2A=2sinAcosA。
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB〉cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1。
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)〉tan2A=2tanA/【1-(tanA)^2】。
在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式。
cosx=1-2【sin(x/2)】^2〉sin(x/2)=+'-√【(1-cosx)/2】符号由(x/2)的象限决定,下同。
cosx=2【cos(x/2)】^2〉cos(x/2)=+'-√【1+cosx)/2】
两式的两边分别相除,得到:
tan(x/2)=+'-√【(1-cosx)/(1+cosx)】。
又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=2【sin(x/2)】^2/【2sin(x/2)cos(x/2)】=(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)。