1.数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要统一;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的'点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的(小)数
⑴最小的自然数是0,无的自然数;
⑵最小的正整数是1,无的正整数;
⑶的负整数是-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,则a=0
1、列方程解应用题的一般步骤:
(1)将实际问题抽象成数学问题;
(2)分析问题中的已知量和未知量,找出等量关系;
(3)设未知数,列出方程;
(4)解方程;
(5)检验并作答。
2、一些实际问题中的规律和等量关系:
(1)几种常用的面积公式:
长方形面积公式:S=ab,a为长,b为宽,S为面积;正方形面积公式:S=a2,a为边长,S为面积;
梯形面积公式:S=,a,b为上下底边长,h为梯形的高,S为梯形面积;
圆形的面积公式:,r为圆的半径,S为圆的面积;
三角形面积公式:,a为三角形的一边长,h为这一边上的高,S为三角形的面积。
(2)几种常用的周长公式:
长方形的周长:L=2(a+b),a,b为长方形的长和宽,L为周长。
正方形的周长:L=4a,a为正方形的边长,L为周长。
圆:L=2πr,r为半径,L为周长。
(一)正负数
1、正数:大于0的数。
2、负数:小于0的数。
3、0即不是正数也不是负数。
4、正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
(二)有理数
1、有理数:由整数和分数组成的数。包括:正整数、0、负整数,正分数、负分数。可以写成两个整数之比的形式。(无理数是不能写成两个整数之比的形式,它写成小数形式,小数点后的数字是无限不循环的。如:π)
2、整数:正整数、0、负整数,统称整数。
3、分数:正分数、负分数。
(三)数轴
1、数轴:用直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。(画一条直线,在直线上任取一点表示数0,这个零点叫做原点,规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度,以便在数轴上取点。)
2、数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。
3、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。
4、绝对值:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
(四)有理数的加减法
1、先定符号,再算绝对值。
2、加法运算法则:同号相加,取相同符号,并把绝对值相加。异号相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减,仍得这个数。
3、加法交换律:a+b= b+ a 两个数相加,交换加数的位置,和不变。
4、加法结合律:(a+b)+ c = a +(b+ c )三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
5、 ab = a +(b) 减去一个数,等于加这个数的相反数。
(五)有理数乘法(先定积的符号,再定积的大小)
1、同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。
2、乘积是1的两个数互为倒数。
3、乘法交换律:ab= ba
4、乘法结合律:(ab)c = a (b c)
5、乘法分配律:a(b +c)= a b+ ac
(六)有理数除法
1、先将除法化成乘法,然后定符号,最后求结果。
2、除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
3、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0。
(七)乘方
1、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。写作an。(乘方的结果叫幂,a叫底数,n叫指数)
2、负数的奇数次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0。
(八)有理数的加减乘除混合运算法则
1、先乘方,再乘除,最后加减。
2、同级运算,从左到右进行。
3、如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
(九)科学记数法、近似数、有效数字。
1、单项式:数或字母的积(如5n),单个的数或字母也是单项式。
(1)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的'系数。(如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。
(2)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。
2、多项式
(1)概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
(2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(3)多项式的排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意:
(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符
看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
a、先确认按照哪个字母的指数来排列。
b、确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。
3、整式:单项式和多项式统称为整式。
4、列代数式的几个注意事项
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“· ”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成3/a的形式;
(6)a与b的差写作a—b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a—b和b—a 。