在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出,对应于不同无穷集合的元素的个数(基数),有不同的“无穷”。
这里比较不同的无穷的“大小”的时候唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断,而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系,它们就具有相同的无穷基数。
自然数集是具有最小基数的无穷集,它的基数用希伯来字母阿列夫右下角标来表示。
可以证明,任何一个集合的幂集(所有子集所形成的集合)的比原集合大,如果原来的基数是a,则幂集的基数记为(2的a次方)。这称为康托尔定理。
对于两个无穷集合,可以以能否建立它们之间的双射,作为比较其大小的标准。
确切地讲,我们用基数的概念来描述集合,对于有限集合而言,可以认为它的基数就是元素的个数,但对无穷集而言,基数只能以下面的方式理解(当然也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数,但这个个数已经不是日常用语中的意思)。
如果集合A与集合B之间存在双射(一一对应),就认为它们的基数一样大;如果A与B的某个子集有双射,就认为A的基数不比B更大,也就是A到B有单射,B到A有满射;当A的基数不比B更大,且A、B基数不一样大时,就认为A比B基数小。
在ZFC集合论的框架下,任何集合都是良序的,从而两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种,不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理,只有良序集的基数才能比较。
例如,可数集合,如自然数集,整数集乃至有理数集对应的基数被定义为“阿列夫零”。比可数集合“大”的称之为不可数集合,如实数集,其基数与自然数的幂集相同,为二的阿列夫零次方,被定义为“阿列夫壹”。
由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数,所以通过构造一系列的幂集,可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是,无穷基数的个数比任何基数都多,从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”,它不能对应于一个基数,否则会产生康托尔悖论的一种形式。