2017年广东省中山一中协作体中考数学压轴题【精编解析版】

2017年广东省中山一中协作体中考数学压轴题【精编解析版】

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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分）

1．实数﹣的相反数是（）

A．              B．3              C．﹣3              D．﹣

2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（）

A．              B．              C．              D．

3．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）

A．64×105              B．6.4×105              C．6.4×106              D．6.4×107

4．如图，直线MA∥NB，∠A=50°，∠B=20°，则∠P=（）度．

A．20              B．25              C．30              D．35

5．下列计算正确的是（）

A．a2+a2=a4              B．（a2）3=a5              C．2a2﹣a2=2              D．a5•a2=a7

6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）

A．25°              B．30°              C．35°              D．40°

7．下列命题是假命题的是（）

A．若a＞b，则ac2＞bc2              B．若a＞b，则a+c＞b+c

C．若ac2＞bc2，则a＞b              D．若a＞b，b＞c，则a＞c

8．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

A．              B．              C．              D．

9．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（）

A．              B．              C．π              D．2π

10．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）

A．              B．              C．              D．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内角和等于　   　．

12．已知+|a﹣b+2|=0，则ab=　   　．

13．分解因式：﹣2a3+8a2﹣8a=　   　．

14．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　   　．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为　   　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为　   　（结果保留π）．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：|1﹣|﹣2sin45°+（）﹣2+．

18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2，b=．

19． 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．

（1）用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作∠CBD的平分线BM；

②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．

（2）求证：BF∥AC．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20． 为了了解某市九年级学生的体育成绩（成绩均为整数），随机抽取了部分学生的体育成绩并分段（A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5）统计，得到统计图、表如图．

根据上面的信息，回答下列问题：

（1）统计表中，a=　   　，b=　   　，c=　   　；将频数分布直方图补充完整．

（2）小明说：“这组数据的众数一定在C中．”你认为小明的说法正确吗？　   　（选填“正确”或“错误”）．

（3）若成绩在27分及以上定为优秀，则该市30000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少？

21．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．

（1）求证：AG=FG；

（2）求cos∠BGE的值．

22．某商店第一次用600元购进某品牌的笔记本若干本，第二次又用600元购进同样品牌的笔记本，但这次每本的进价是第一次的1.25倍，购进数量比第一次少了30本．

（1）求第一次每本笔记本的进价是多少元？

（2）商店以同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每本笔记本的售价至少多少元？

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．

（3）点P是x轴上的一点，且使PA+PB最小，求△ABP的面积．

24．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD=∠COD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；

（3）如图2，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．

25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（0＜x＜6）．

（1）点G在四边形ABCD的边上时，x=　   　；点F与点C重合时，x=　   　；

（2）求出使△DFC成为等腰三角形的x的值；

（3）求△EFG与四边形ABCD重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，并直接写出y的最大值．

2017年广东省中山一中协作体中考数学压轴题参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分）

1．实数﹣的相反数是（）

A．              B．3              C．﹣3              D．﹣

【考点】28：实数的性质．

【分析】根据相反数的定义选择正确的选项即可．

【解答】解：实数﹣的相反数是﹣（﹣）=，

故选A．

2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．

【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故选B．

3．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）

A．64×105              B．6.4×105              C．6.4×106              D．6.4×107

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：6 400 000=6.4×106，

故选：C．

4．如图，直线MA∥NB，∠A=50°，∠B=20°，则∠P=（）度．

A．20              B．25              C．30              D．35

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论

【解答】解：∵直线MA∥NB，∠A=50°，

∴∠1=∠A=50°，

∵∠B=20°，

∴∠P=30°，

故选C．

5．下列计算正确的是（）

A．a2+a2=a4              B．（a2）3=a5              C．2a2﹣a2=2              D．a5•a2=a7

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．

【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．

【解答】解：A、结果是2a2，故本选项不符合题意；

B、结果是a6，故本选项不符合题意；

C、结果是a2，故本选项不符合题意；

D、结果是a7，故本选项符合题意；

故选D．

6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）

A．25°              B．30°              C．35°              D．40°

【考点】R2：旋转的性质．

【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．

【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，

∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，

∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，

故选：B．

7．下列命题是假命题的是（）

A．若a＞b，则ac2＞bc2              B．若a＞b，则a+c＞b+c

C．若ac2＞bc2，则a＞b              D．若a＞b，b＞c，则a＞c

【考点】O1：命题与定理．

【分析】根据不等式的性质即可得到结论．

【解答】解：A、若a＞b，且c≠0，则ac2＞bc2，故错误；

B、若a＞b，则a+c＞b+c，故正确；

C、若ac2＞bc2，则a＞b，故正确；

D、若a＞b，b＞c，则a＞c，故正确；

故选A．

8．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，

∴两次都摸到白球的概率是： =．

故答案为：C．

9．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（）

A．              B．              C．π              D．2π

【考点】MN：弧长的计算；KK：等边三角形的性质．

【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．

【解答】

解：∵△ABC为正三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，

∴====，

根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，

即凸轮的周长=++=3×=π．

故选C．

10．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【分析】作PH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，则可判断△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，得到PA=PB=AH=，∠HPB=45°，由于∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而∠CPD=45°，所以1≤x≤2，再证明∠2=∠BPM，这样可判断△ANP∽△BPM，利用相似比得=，则y=，所以得到y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．

【解答】解：作PH⊥AB于H，如图，

∵△PAB为等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，

∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，

∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，

∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，

而∠CPD=45°，

∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，

∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，

∴∠2=∠BPM，

而∠A=∠B，

∴△ANP∽△BPM，

∴=，即=，

∴y=，

∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．

故选：A．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内角和等于　1800°　．

【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．

【解答】解：多边形的边数是： =12．

则内角和是：（12﹣2）•180=1800°

12．已知+|a﹣b+2|=0，则ab=　1　．

【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值．

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a+2=0，a﹣b+2=0，

解得a=﹣2，b=0，

所以，ab=（﹣2）0=1．

故答案为：1．

13．分解因式：﹣2a3+8a2﹣8a=　﹣2a（a﹣2）2　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．

【解答】解：﹣2a3+8a2﹣8a

=﹣2a（a2﹣4a+4）

=﹣2a（a﹣2）2．

故答案为：﹣2a（a﹣2）2．

14．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜1且k≠0　．

【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，

∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，

解得k＜1且k≠0．

∴k的取值范围为k＜1且k≠0．

故答案为：k＜1且k≠0．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．

【解答】解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，

∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．

∵2017=1008×2+1，

∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=．

故答案为：．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为　π﹣4　（结果保留π）．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．

【解答】解：

设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．

即阴影部分的面积=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：|1﹣|﹣2sin45°+（）﹣2+．

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2﹣1﹣2×+4﹣2=+1．

18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2，b=．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】首先将括号里面进行通分运算，进而利用分式除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式=×

=×

=，

把a=2，b=代入可得：

原式====2+．

19． 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．

（1）用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作∠CBD的平分线BM；

②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．

（2）求证：BF∥AC．

【考点】N3：作图—复杂作图；KH：等腰三角形的性质．

【分析】（1）①作∠CBD的角平分线即可．②作线段BC的垂直平分线即可；

（2）只要证明∠DBF=∠CAB即可解决问题；

【解答】解：（1）①如图所示，BM即为所求．②如图所示，AF即为所求．

（2）∵BA=BC，

∴∠CAB=∠C，

∵∠CBD=∠C+∠CAB=∠CBF+∠DBF，∠CBF=∠DBF，

∴∠DBF=∠CAB，

∴BF∥AC．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20． 为了了解某市九年级学生的体育成绩（成绩均为整数），随机抽取了部分学生的体育成绩并分段（A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5）统计，得到统计图、表如图．

根据上面的信息，回答下列问题：

（1）统计表中，a=　0.15　，b=　60　，c=　240　；将频数分布直方图补充完整．

（2）小明说：“这组数据的众数一定在C中．”你认为小明的说法正确吗？　错误　（选填“正确”或“错误”）．

（3）若成绩在27分及以上定为优秀，则该市30000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少？

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W5：众数．

【分析】（1）首先用12÷0.05即可得到抽取的部分学生的总人数，然后用36除以总人数得到a，用总人数乘以0.25即可求出b；根据表格的信息就可以补全频数分布直方图；

（2）根据众数的定义和表格信息就可以得到这组数据的“众数”落在哪一组，进而判断小明的说法是否正确；

（3）利用30000乘以抽查的人数中优秀的学生人数所占的频率即可

【解答】解：（1）∵抽取的部分学生的总人数为c=12÷0.05=240（人），

∴a=36÷240=0.15，b=240×0.25=60；

统计图补充如下：

故答案是：0.15；60；240；

（2）C组数据范围是24.5～26.5，由于成绩均为整数，所以C组的成绩为25分与26分，虽然C组人数最多，但是25分与26分的人数不一定最多，所以这组数据的众数不一定在C中．故小明的说法错误；

故答案是：错误；

（3）30000×（0.25+0.20）=13500（人）．

即该市今年30000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有13500人．

21．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．

（1）求证：AG=FG；

（2）求cos∠BGE的值．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）根据正方形的性质可得∠C=∠A=90°，DC=DA，根据翻折的性质可得DF=DC，∠DFE=∠C=90°，然后求出∠DFG=∠A=90°，DF=DA，再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△FDG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）先求出BE=EC=EF=6，设AG=x，表示出EG、BG，然后利用勾股定理列方程求出x的值，从而得到BG、EG，最后根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．

【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，

∴∠C=∠A=90°，DC=DA，

∵△DCE沿DE对折得到△DFE，

∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，DF=DA，

在Rt△ADG和Rt△FDG中，，

∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），

∴AG=FG；

（2）解：∵正方形ABCD中，AB=12，BE=EC，

∴BE=EC=EF=6，

设AG=x，则EG=6+x，

BG=12﹣x，

在Rt△BEG中，根据勾股定理得，EG2=BE2+BG2，

即（6+x）2=62+（12﹣x）2，

解得x=4，

所以，BG=12﹣4=8，

EG=6+4=10，

所以，cos∠BGE===．

22．某商店第一次用600元购进某品牌的笔记本若干本，第二次又用600元购进同样品牌的笔记本，但这次每本的进价是第一次的1.25倍，购进数量比第一次少了30本．

（1）求第一次每本笔记本的进价是多少元？

（2）商店以同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每本笔记本的售价至少多少元？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为1.25x元，根据题意可列出分式方程解答；

（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．

【解答】解：（1）设第一次每本笔记本的进价为x元．

根据题意得=+30，

解得x=4，经检验x=4是原方程的解．

答：第一次每本笔记本的进价为4元；

（2）第一次买进笔记本150本，第二次买进笔记本120本，共270本．

设每本笔记本的售价为y元，根据题意得，

270y﹣600×2≥420，

解得y≥6．

答：每本笔记本的售价至少为6元．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．

（3）点P是x轴上的一点，且使PA+PB最小，求△ABP的面积．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点A（1，4）代入反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B坐标可得直线解析式；

（2）根据图象得出不等式kx+b≤的解集即可；

（3）作B的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，根据B的坐标求得B′的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB′的解析式，进而求得与x轴的交点P，再求面积即可．

【解答】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4，

∴反比例函数的解析式为y=；

把B（4，n）代入y=，得：n=1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+5；

（2）根据图象得当0＜x≤1或x≥4，一次函数y=﹣x+5的图象在反比例函数y=的下方；

∴kx+b≤的解集为0＜x≤1或x≥4；

（3）作B的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

设直线AB′的解析式为y=mx+n，

∴，

解得，

∴直线AB′的解析式为y=﹣x+，

令y=0，得﹣x+=0，

解得x=，

∴点P的坐标为（，0），

∴S△ABP=﹣=．

24．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD=∠COD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；

（3）如图2，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线；

（2）连接CE、BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形；

（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有=，即FC=，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则=，即FG=，然后求FC与FG的比即可一个定值．

【解答】（1）证明：如图1，∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠CBD=∠BA，

∴∠ABC+∠CBD=90°，

∴∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD为⊙O的切线；

（2）证明：连接CE、BE，如图1，

∵OE=ED，∠OBD=90°，

∴BE=OE=ED，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE=60°，

又∵AC∥OD，

∴∠OAC=60°，

又∵OA=OC，

∴AC=OA=OE，

∴AC∥OE且AC=OE，

∴四边形OACE是平行四边形，

而OA=OE，

∴四边形OACE是菱形；

（3）解：如图2，∵CF⊥AB，

∴∠AFC=∠OBD=90°，

而AC∥OD，

∴∠CAF=∠DOB，

∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

∴=，即FC=，

又∵FG∥BD，

∴△AFG∽△ABD，

∴=，即FG=，

∴==2，

∴=．

25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（0＜x＜6）．

（1）点G在四边形ABCD的边上时，x=　2　；点F与点C重合时，x=　3　；

（2）求出使△DFC成为等腰三角形的x的值；

（3）求△EFG与四边形ABCD重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，并直接写出y的最大值．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．当等边三角形△EGF的高=时，点G想AD上，此时x=2，当点F与C重合时，BE=BC=3，此时x=3；

（2）分三种情形：①当CF=CD且F在C左侧时，当CF=CD且F在C右侧时，当FC=DF时，分别构建方程即可解决问题；

（3）分图1，图2，图3三种情形解决问题．①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，重叠部分就是△EFG；

②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM；

③当3≤x＜6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP；

【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．

∵AD=BH=3，BC=6，

∴CH=BC﹣BH=3，

在Rt△DHC中，CH=3，∠DCH=30°，

∴DH=CH•tan30°=，

当等边三角形△EGF的高=时，点G想AD上，此时x=2，

当点F与C重合时，BE=BC=3，此时x=3，

所以点G在四边形ABCD的边上时，x=2，点F与点C重合时，x=3．

故答案为2，3．

（2）注意到0＜x＜6，故△DFC为等腰三角形只有三种情形：

①当CF=CD且F在C左侧时，6﹣2x=2，x=3﹣，

②当CF=CD且F在C右侧时，2x﹣6=2，x=3+，

③当FC=DF时，6﹣2x=，x=，

综上所述，x的值为3﹣或3+或．

（3）①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，所以y=x2．

②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，

∴FN=FC=6﹣2x，

∴GN=3x﹣6，

∵∠G=60°，

∴△GNM是直角三角形，

∴y=S△EFG﹣S△GMN=x2﹣（3x﹣6）2=﹣x2+x﹣．

③当3≤x＜6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP，

y=（6﹣x）2=x2﹣x+．

2017年8月16日