三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点。当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。三条中线必相交,交点命名为重心;重心分割中线段,线段之比二比一。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形)
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3];空间直角坐标系——X坐标:(X1+X2+X3)/3,Y坐标:(Y1+Y2+Y3)/3,Z坐标:(Z1+Z2+Z3)/3。
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量),则M点为△ABC的重心,反之也成立。
7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)。
8、卡诺重心定理:若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点,则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2。
三角形五心口诀:三角形有五颗心,重外垂内和旁心,五心性质很重要,认真掌握莫记混。
重心记忆口诀
三条中线定相交,交点位置真奇巧,交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓,长短之比二比一,灵活运用掌握好。
重心:是指三角形的三条中线的交点。
外心记忆口诀
三角形有六元素,三个内角有三边,作三边的中垂线,三线相交共一点,
此点定义为外心,用它可作外接圆,内心外心莫记混,内切外接是关键。
外心:是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。
垂心记忆口诀
角形上作三高,三高必于垂心交,高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形,四点共圆图中有,细心分析可找清。
垂心:三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
内心记忆口诀
三角对应三顶点,角角都有平分线,三线相交定共点,叫做“内心”有根源,
点至三边均等距,可作三角形内切圆,此圆圆心称“内心”,如此定义理当然。
内心:三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。