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有界数列不一定收敛。唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。有限个有界函数的和、差、积必有界。极限存在只是函数有界的充分条件，而非必要条件，即函数有界但函数极限不一定存在，如果函数在某点连续，那么在这个点附近一定有一个邻域，这个邻域中函数是有界的。
有界数列一定收敛吗
有界数列不一定收敛。
1、唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。有限个有界函数的和、差、积必有界。极限存在只是函数有界的充分条件，而非必要条件，即函数有界但函数极限不一定存在，如果函数在某点连续，那么在这个点附近一定有一个邻域，这个邻域中函数是有界的。
2、若数列存在极限，且极限大于零或小于零，则存在正整数N，当n>N时，数列项an大于零或小于零。收敛函数一定有极限，有极限的函数不一定收敛。函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。收敛和有极限是一个意思，完全等价。
3、若数列的每一项非负且数列收敛，则其极限也非负。每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示，当n无穷大时，判断Xn是否是常数，是常数则收敛，加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去，乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来代。
有界数列的定义
1、单调有界一定是收敛的。它一定有界，但不一定单调，有的收敛数列在极限值附近来回震荡，就不是单调的，而且有界性是数列收敛的必要条件。
2、有界和有极限是2个概念，因为极限的定义，是在x0的某去心邻域内，是x0点的极限。不能说y=x^2有极限，只能说y=x^2在x=2处有极限。y=xlnx在x=0处有右极限。
3、数列求和的方法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求。求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。