在给定的数域上,把一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式,叫做多项式的分解因式。多项式的分解因式是一种重要的恒等变形,在初等数学中有着广泛的应用。在初中代数中,已经学习过提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等基本方法。这些方法要根据多项式的结构特征灵活地加以应用。这里,讨论几种分解因式的其他方法,这里的因式分解都是在有理数域上进行的。
1、用待定系数法分解因式
用待定系数法分解因式,就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积,使这些因式的乘积与原式组成恒等式,求出各待定系数的值。
例1,分解因式x4-x3-5x2-6x-4
解:设 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ɑx+b)(x2+cx+d)
=x4+(ɑ+c)x3+(b+ɑc+d)x2+(ɑd+bc)x+bd
比较对应的系数,得ɑ+c=-1b+ɑc+d=-5ɑd+bc=-6bd=-4 ?圳 ɑ=1b=1c=-2d=-4
x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)
2、用余数定理和综合除法分解因式
多项式f(x)有因式x-ɑ的充要条件是f(ɑ)=0,ɑ就是f(x)的一个有理根。求出f(x)的有理根,就能得到f(x)的一次因式。这一方法的关键是如何寻找有理根。
【定理】设f(x)=ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一个整系数多项式。若有理数是f(x)的一个根(这里u和v是互素的整数),那么v整除f(x)的最高次项系数ɑ0,而u整除f(x)的常数项ɑn 。
定理1:设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式,如果有理数v/u是它的一个根,其中u与v互素,则u|an,v|a0。特别地,当an=1时,f(x)的有理根都是整数,且为常数项a0的因数。
定理2:若既约分数v/u是整系数多项式f(x)的根,则u-v|f(1),u+v|f(-1)。