泰勒中值定理:
若函数f(x)在含有x的开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和。
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)。
其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1),这里ξ在x和x0之间,该余项称为拉格朗日型的余项。
使用Taylor公式的条件是:f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n)表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等。