设函数y=f(x)的定义域是A,值域是C.我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),习惯表示为y=f-1(x)。注意:函数y=f(x)的定义域和值域,分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域。
例如:f(x)的定义域是[-1,+∞],值域是[0,+∞),它的反函数定义域为[0,+∞),值域是[-1,+∞)。
余角关系
arcsin(x)+arccos(x)=π/2
arctan(x)+arccot(x)=π/2
arcsec(x)+arccsc(x)=π/2
负数关系
arcsin(-x)=-arcsin(x)
arccos(-x)=π-arccos(x)
arctan(-x)=-arctan(x)
arccot(-x)=π-arccot(x)
arcsec(-x)=π-arcsec(x)
arccsc(-x)=-arccsc(x)
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx;相应地,反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
1.反正弦函数
正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。
2.反余弦函数
余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1] , 值域[0,π]。
3.反正切函数
正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。记作arctanx,表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。定义域R,值域(-π/2,π/2)。
4.反余切函数
余切函数y=cotx在(0,π)上的反函数,叫做反余切函数。记作arccotx,表示一个余切值为x的角,该角的范围在(0,π)区间内。定义域R,值域(0,π)。
5.反正割函数
正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数,叫做反正割函数。记作arcsecx,表示一个正割值为x的角,该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。
6.反余割函数
余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数,叫做反余割函数。记作arccscx,表示一个余割值为x的角,该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。