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    反三角函数重点知识点总结

    文/宋则贤

    反三角函数是一种基本初等函数,是数学学习中一个很重要的知识点,下面整理了相关知识点和公式,希望能帮助到大家。

    反三角函数重点知识点总结

    反三角函数定义

    反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsinX,反余弦arccosX,反正切arctanX,反余切arccotX,反正割arcsecX,反余割arccscX这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割,反余割为x的角。

    三角函数的反函数是个多值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

    反三角函数公式

    余角关系

    arcsin(x)+arccos(x)=π/2

    arctan(x)+arccot(x)=π/2

    arcsec(x)+arccsc(x)=π/2

    负数关系

    arcsin(-x)=-arcsin(x)

    arccos(-x)=π-arccos(x)

    arctan(-x)=-arctan(x)

    arccot(-x)=π-arccot(x)

    arcsec(-x)=π-arcsec(x)

    arccsc(-x)=-arccsc(x)

    反三角函数的导数公式

    反正弦函数的求导:(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

    反余弦函数的求导:(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

    反正切函数的求导:(arctanx)'=1/(1+x^2)

    反余切函数的求导:(arccotx)'=-1/(1+x^2)

    分类

    为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx;相应地,反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

    1.反正弦函数

    正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。

    2.反余弦函数

    余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1] , 值域[0,π]。

    3.反正切函数

    正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。记作arctanx,表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。定义域R,值域(-π/2,π/2)。

    4.反余切函数

    余切函数y=cotx在(0,π)上的反函数,叫做反余切函数。记作arccotx,表示一个余切值为x的角,该角的范围在(0,π)区间内。定义域R,值域(0,π)。

    5.反正割函数

    正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数,叫做反正割函数。记作arcsecx,表示一个正割值为x的角,该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

    6.反余割函数

    余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数,叫做反余割函数。记作arccscx,表示一个余割值为x的角,该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

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