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    三角函数和差化积公式推导过程

    文/颜雨

    三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来给分享三角函数和差化积公式及推导过程。

    三角函数和差化积公式推导过程

    和差化积公式

    sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

    sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

    cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

    cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

    tAnA+tAnB=sin(A+B)/cosAcosB=tAn(A+B)(1-tAnAtAnB)

    tAnA-tAnB=sin(A-B)/cosAcosB=tAn(A-B)(1+tAnAtAnB)

    和差化积公式推导过程

    首先,我们知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB,sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB

    我们把两式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB

    所以,sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

    同理,若把两式相减,就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

    同样的,我们还知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB,cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB

    所以,把两式相加,我们就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB

    所以我们就得到,cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

    同理,两式相减我们就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

    这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

    sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

    cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

    cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

    sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

    有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

    我们把上述四个公式中的A+B设为A,A-B设为B,那么A=(A+B)/2,B=(A-B)/2

    把A,B分别用A,B表示就可以得到和差化积的四个公式:

    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

    sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

    cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

    cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

    三角函数积化和差公式

    sinAcosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

    cosAsinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

    cosAcosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

    sinAsinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

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