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    一元二次函数重要知识点总结

    文/颜雨

    二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。二次函数最高次必须为二次,二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

    一元二次函数重要知识点总结

    二次函数的图像

    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

    2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

    抛物线与y轴交于(0,c)

    6.抛物线与x轴交点个数

    Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

    Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

    Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

    二次函数的表达式

    (一)顶点式

    y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同,当x=h时,y最大(小)值=k。

    (二)交点式

    y=a(x-x₁)(x-x₂) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b²-4ac>0]

    函数与图像交于(x₁,0)和(x₂,0)

    (三)一般式

    y=aX²+bX+c=0(a≠0)(a、b、c是常数)

    一元二次函数图像的对称关系

    (一)对于一般式:

    ①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。

    ②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。

    ③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。

    ④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)

    (二)对于顶点式:

    ①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反、纵坐标相同。

    ②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称,横坐标相同、纵坐标相反。

    ③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。

    ④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反。

    二次函数的平移规律口诀

    上加下减,左加右减

    y=a(x+b)²+c,是将y=ax²的二次函数图像按以下规律平移

    (1)c>0时,图像向上平移c个单位(上加上)。

    (2)c<0时,图像向下平移c个单位(下减)。

    (3)b>0时,图像向左平移b个单位(左加)。

    (4)b<0时,图像向右平移b个单位(右减)。

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