sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
tAnA+tAnB=sin(A+B)/cosAcosB=tAn(A+B)(1-tAnAtAnB)
tAnA-tAnB=sin(A-B)/cosAcosB=tAn(A-B)(1+tAnAtAnB)
首先,我们知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB,sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB
我们把两式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB
所以,sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2
同理,若把两式相减,就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2
同样的,我们还知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB,cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB
所以我们就得到,cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2
同理,两式相减我们就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2
cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2
cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2
sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2
有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的A+B设为A,A-B设为B,那么A=(A+B)/2,B=(A-B)/2
把A,B分别用A,B表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)
sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)
cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)