1.命题的否定只否定该命题的结论,而否命题则否定原命题的条件和结论。比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”;在大学阶段,“只否定命题结论”的说法不一定正确,根据真值表(True Table),在A为假命题的情况下,非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。参考:滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。数学中常用到反证法,要证明一个命题,只需要证明它的否定形式不成立就可以了。而对于否命题,它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
1、写出“若a,b都是正数,则a+b大于等于2√ab.”的否命题。
解答:若a,b不都是正数,则a+b大于等于2√ab.。
评注:“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”.如果把“a,b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”,则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。
2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。
解答:否命题:若两个数不全是奇数,则它们的和不是偶数。
命题的否定:两个奇数的和不是偶数。
评注:(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数,则它们的和是偶数”。
(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”,而不是“是奇数”。
3、写出下列命题的否定:
(1)有些常数数列不是等比数列。(2)平行四边形是菱形。
解答:(1)任意一个常数数列都是等比数列。(2)平行四边形不都是菱形。
评注:一般地说,存在性命题的否定可以是全称命题,全称命题的否定可以是存在性命题.所以(1)题的否定是一个全称命题.“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题,故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案,而解答中仅是对结论作否定的,比较简洁,当然也行的。