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湖北省武汉市2016年中考数学模拟试卷
一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.估计 的值介于( )
A.0与1之间 B.1与2之间 C.2与3之间 D.3与4之间
2.若分式 有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠5 B.x≠﹣5 C.x>5 D.x>﹣5
3.计算(a﹣1)2正确的是( )
A.a2﹣a+1 B.a2﹣2a+1 C.a2﹣2a﹣1 D.a2﹣1
4.下列事件是必然事件的是( )
A.抛掷一枚硬币四次,有两次正面朝上
B.打开电视频道,正在播放《十二在线》
C.射击运动员射击一次,命中十环
D.方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根
5.下列代数运算正确的是( )
A.x•x6=x6 B.(x2)3=x6 C.(x+2)2=x2+4 D.(2x)3=2x3
6.下列几何体中,主视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
7.(2016武汉数学)在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3,2)重合,则点A的坐标是( )
A.(2,5) B.(﹣8,5) C.(﹣8,﹣1) D.(2,﹣1)
8.小明想了解全校3000名同学对新闻、体育、音乐、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱况,从中抽取了一部分同学进行了一次抽样调查,利用所得数据绘制成下面的统计图:根据图中所给信息,全校喜欢娱乐类节目的学生大约有( )人.
A.1080 B.900 C.600 D.108
9.正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是( )
A.(63,32) B.(64,32) C.(63,31) D.(64,31)
10.(2016武汉数学)如图所示,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD的延长线上移动时,则△PBD的外接圆的半径的最小值为( )
A.1 B. C. D.
二.填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算:﹣6+4= .
12.钓鱼岛是中国的固有领土,位于中国东海,面积约4400000平方米,数据4400000用科学记数法表示为 .
13.一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字,投掷这个骰子一次,则向上一面的数字小于3的概率是 .
14.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF的度数= 度.
15.(2016武汉数学)动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .
16.我们把a、b两个数中较小的数记作min{a,b},直线y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点,则k的取值为 .
三.解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)解方程:2﹣2(x﹣1)=3x+4.
18.(2016武汉数学)(8分)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.
19.(8分)某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况,以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A、B、C、D四个等级进行统计,并将统计结果绘制如下两幅统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:(说明:A级:90分﹣100分;B级:75分﹣89分;C级:60分﹣74分;D级:60分以下)
(1)写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为 ,C级学生所在的扇形圆心角的度数为 ;
(2)该班学生体育测试成绩的中位数落在等级 内;
(3)若该校九年级学生共有500人,请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人?
20.(2016武汉数学)(8分)已知:如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数 的图象交于一、三象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(2,m),点B的坐标为(n,﹣2),tan∠BOC= .
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在x轴上有一点E(O点除外),使得△BCE与△BCO的面积相等,求出点E的坐标.
21.(2016武汉数学)(8分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若sin∠ABC= ,求tan∠BDC的值.
22.(10分)为了美化环境,学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上迸行绿化,规划在中间的一块四边形MNQP上种花,其余的四块三角形上铺设草坪,要求AM=AN=CP=CQ.已知BC=24米,AB=40米,设AN=x米,种花的面积为y1平方米,草坪面积y2平方米.
(1)分别求y1和y2与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(2)当AN的长为多少米时种花的面积为440平方米?
(3)若种花每平方米需200元,铺设草坪每平方米需100元现设计要求种花的面积不大于440平方米,那么学校至少需要准备多少元费用.
23.(10分)如图,已知等腰△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,连接FE、ED,BF的延长线交ED的延长线于点G,连接GC.
(1)求证:EF∥CG;
(2)若AC= AB,求证:AC=CG;
(3)如图2,若CG=EG,则 = .
24.(2016武汉数学)(12分)已知抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1与x轴交于A、B两点,若m>1,且点A在点B的左侧,OA:OB=1:3
(1)试确定抛物线的解析式;
(2)直线y=kx﹣3与抛物线交于M、N两点,若△AMN的内心在x轴上,求k的值.
(3)设(2)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l∥x轴,将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象,请你结合新图象回答:当直线y= x+b与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y0≤7时,求b的取值范围.
2016年湖北省武汉市中考数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析
一.(2016武汉数学)选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.估计 的值介于( )
A.0与1之间 B.1与2之间 C.2与3之间 D.3与4之间
【考点】估算无理数的大小.
【分析】利用二次根式的性质,得出 < < ,进而得出答案.
【解答】解:∵ < < ,
∴2< <3,
∴ 的值在整数2和3之间,
故选C.
【点评】此题主要考查了估计无理数的大小,得出 < < 是解题关键.
2.若分式 有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠5 B.x≠﹣5 C.x>5 D.x>﹣5
【考点】分式有意义的条件.
【分析】要使分式有意义,分式的分母不能为0.
【解答】解:∵x﹣5≠0,∴x≠5;
故选A.
【点评】解此类问题,只要令分式中分母不等于0,求得字母的值即可.
3.计算(a﹣1)2正确的是( )
A.a2﹣a+1 B.a2﹣2a+1 C.a2﹣2a﹣1 D.a2﹣1
【考点】完全平方公式.
【分析】原式利用完全平方公式展开得到结果,即可作出判断.
【解答】解:原式=a2﹣2a+1,
故选B
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
4.(2016武汉数学)下列事件是必然事件的是( )
A.抛掷一枚硬币四次,有两次正面朝上
B.打开电视频道,正在播放《十二在线》
C.射击运动员射击一次,命中十环
D.方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根
【考点】随机事件;二元一次方程的解.
【分析】根据必然事件的定义逐项进行分析即可做出判断,必然事件是一定会发生的事件.
【解答】解:A、抛掷一枚硬币四次,有两次正面朝上,随机事件,故本选项错误;
B、打开电视频道,正在播放《十二在线》,随机事件,故本选项错误;
C、射击运动员射击一次,命中十环,随机事件,故本选项错误;
D、因为在方程x2﹣2x﹣1=0中△=4﹣4×1×(﹣1)=8>0,故本选项正确.
故选:D.
【点评】解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,理解概念是解决基础题的主要方法.
用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
5.(2016武汉数学)下列代数运算正确的是( )
A.x•x6=x6 B.(x2)3=x6 C.(x+2)2=x2+4 D.(2x)3=2x3
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法;完全平方公式.
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式的运算,然后选择正确选项.
【解答】解:A、x•x6=x7,原式计算错误,故本选项错误;
B、(x2)3=x6,原式计算正确,故本选项正确;
C、(x+2)2=x2+4x+4,原式计算错误,故本选项错误;
D、(2x)3=8x3,原式计算错误,故本选项错误.
故选B.
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识,解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则.
6.(2016武汉数学)下列几何体中,主视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】主视图是从物体正面看,所得到的图形.
【解答】解:圆柱的主视图是长方形,圆锥的主视图是三角形,长方体的主视图是长方形,球的主视图是圆,
故选:B.
【点评】本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
7.在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3,2)重合,则点A的坐标是( )
A.(2,5) B.(﹣8,5) C.(﹣8,﹣1) D.(2,﹣1)
【考点】坐标与图形变化-平移.
【分析】逆向思考,把点(﹣3,2)先向右平移5个单位,再向下平移3个单位后可得到A点坐标.
【解答】解:在坐标系中,点(﹣3,2)先向右平移5个单位得(2,2),再把(2,2)向下平移3个单位后的坐标为(2,﹣1),则A点的坐标为(2,﹣1).
故选:D.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移:在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.
8.(2016武汉数学)小明想了解全校3000名同学对新闻、体育、音乐、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱况,从中抽取了一部分同学进行了一次抽样调查,利用所得数据绘制成下面的统计图:根据图中所给信息,全校喜欢娱乐类节目的学生大约有( )人.
A.1080 B.900 C.600 D.108
【考点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图.
【分析】先求出抽取的总人数,再求出体育类所占的百分比,再用整体1减去其它四类所占的百分比,求出娱乐所占的百分比,再乘以全校同学总数,即可得出答案.
【解答】解:根据题意得:
抽取的总人数是:45÷30%=150(人),
体育所占的百分比是: ×100%=20%,
则娱乐所占的百分比是:1﹣6%﹣8%﹣20%﹣30%=36%,
全校喜欢娱乐类节目的学生大约有3000×36%=1080(人).
故选A.
【点评】此题考查了用样本估计总体,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键,频率=频数÷总数,用样本估计整体让整体×样本的百分比即可.
9.(2016武汉数学)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是( )
A.(63,32) B.(64,32) C.(63,31) D.(64,31)
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质.
【分析】先根据题意得出各正方形边长的规律,进而可得出结论.
【解答】解:∵直线y=x+1,当x=0时,y=1,当y=0时,x=﹣1,
∴OA1=1,OD=1,
∴∠ODA1=45°,
∴∠A2A1B1=45°,
∴A2B1=A1B1=1,
∴A2C1=2=21,
同理得:A3C2=4=22,…,
∴点B6所在正方形的边长=25,
∴其横坐标=1+21+22+23+24+25=63,
∴B6的坐标是(63,32).
故选A.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质;通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键.
10.(2016武汉数学)如图所示,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD的延长线上移动时,则△PBD的外接圆的半径的最小值为( )
A.1 B. C. D.
【考点】切线的性质;三角形的外接圆与外心.
【分析】当BD为△PBD外接圆直径时,△PBD的外接圆半径最小,求出BD即可解决问题.
【解答】解:连接DO.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=2,AD=1,
∴AB=2AD,
∴∠ABD=30°,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD=30°,
∵CD是切线,
∴∠PDO=90°,
∴∠PDB=60°,
由题意当BD为△PBD外接圆直径时,△PBD的外接圆半径最小.
∵BD= = ,
∴△PBD外接圆的半径为 .
故选B.
【点评】本题考查切线的性质、三角形外接圆的性质等知识,解题的关键是判断BD是△PBD外接圆的直径时,△PBD外接圆半径最小.
二.填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算:﹣6+4= ﹣2 .
【考点】有理数的加法.
【分析】利用异号两数相加的计算方法计算即可.
【解答】解:﹣6+4=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】此题考查有理数的加法,掌握法则并会灵活运用.
12.钓鱼岛是中国的固有领土,位于中国东海,面积约4400000平方米,数据4400000用科学记数法表示为 4.4×106 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将4400000用科学记数法表示为:4.4×106.
故答案为:4.4×106.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
13.(2016武汉数学)一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字,投掷这个骰子一次,则向上一面的数字小于3的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子,骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6,共有6种可能,小于3的点数有1、2,则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数小于3的概率.
【解答】解:掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子向上的一面点数共有6种可能,而只有出现点数为1、2才小于3,
所以这个骰子向上的一面点数小于3的概率= = .
故答案为: .
【点评】本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
14.(2016武汉数学)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF的度数= 60 度.
【考点】线段垂直平分线的性质;菱形的性质.
【分析】根据菱形的性质求出∠ADC=100°,再根据垂直平分线的性质得出AF=DF,从而计算出∠CDF的值.
【解答】解:连接BD,BF
∵∠BAD=80°
∴∠ADC=100°
又∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD
∴AF=BF,BF=DF
∴AF=DF
∴∠FAD=∠FDA=40°
∴∠CDF=100°﹣40°=60°.
故答案为:60.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质.
15.动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为 2 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】本题关键在于找到两个极端,即BA′取最大或最小值时,点P或Q的位置.经实验不难发现,分别求出点P与B重合时,BA′取最大值3和当点Q与D重合时,BA′的最小值1.所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2.
【解答】解:当点P与B重合时,BA′取最大值是3,
当点Q与D重合时(如图),由勾股定理得A′C=4,此时BA′取最小值为1.
则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2.
故答案为:2
【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识,难度稍大,学生主要缺乏动手操作习惯,单凭想象造成错误.
16.(2016武汉数学)我们把a、b两个数中较小的数记作min{a,b},直线y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点,则k的取值为 2﹣2 或﹣ 或﹣1 .
【考点】二次函数与不等式(组).
【分析】结合x的范围画出函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}图象,由直线y=kx﹣k﹣2(k<0)与该函数图象只有两个交点且k<0,判断直线的位置得①直线y=kx﹣k﹣2经过点(﹣2,3)时可以求出k;②直线y=kx﹣k﹣2与函数y=x2﹣1相切时,可以求出k.
【解答】解:根据题意,x2﹣1<﹣x+1,即x2+x﹣2<0,
解得:﹣2<x<1,
故当﹣2<x<1时,y=x2﹣1;
当x≤﹣2或x≥1时,y=﹣x+1;
函数图象如下:
由图象可知,∵直线y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点,且k<0,
①直线y=kx﹣k﹣2经过点(﹣2,3)时,3=﹣2k﹣k﹣2,k=﹣ ,此时直线y=﹣ x﹣ ,与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点.
②直线y=kx﹣k﹣2与函数y=x2﹣1相切时,由 消去y得x2﹣kx+k+1=0,∵△=0,k<0,
∴k2﹣4k﹣4=0,
∴k=2﹣2 (或2+2 舍弃),此时直线y=(2﹣2 )x﹣4+2 与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点.
③直线y=kx﹣k﹣2和直线y=﹣x+1平行,k=﹣1,直线为y=﹣x﹣1与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点.
综上,k=2﹣2 或﹣ 或﹣1.
故答案为:2﹣2 或﹣ 或﹣1.
【点评】本题主要考查二次函数与一元一次不等式间的关系,根据题意判断直线的位置是关键,学会用转化的思想解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
三.(2016武汉数学)解答题(共8小题,共72分)
17.解方程:2﹣2(x﹣1)=3x+4.
【考点】解一元一次方程.
【分析】方程去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解.
【解答】解:去括号得:2﹣2x+2=3x+4,
移项合并得:5x=0,
解得:x=0.
【点评】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解.
18.如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.
【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的判定.
【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF,即可得出∠ACB=∠DFE,再根据内错角相等两直线平行,即可证明BC∥EF.
【解答】证明:∵AF=DC,
∴AC=DF,
又∵AB=DE,∠A=∠D,
∴△ACB≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE,
∴BC∥EF.
【点评】本题考查了两直线平行的判定方法,内错角相等,两直线平行,难度适中.
19.某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况,以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A、B、C、D四个等级进行统计,并将统计结果绘制如下两幅统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:(说明:A级:90分﹣100分;B级:75分﹣89分;C级:60分﹣74分;D级:60分以下)
(1)写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为 4% ,C级学生所在的扇形圆心角的度数为 72° ;
(2)该班学生体育测试成绩的中位数落在等级 B 内;
(3)若该校九年级学生共有500人,请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数.
【分析】(1)先求出总人数,再求D成绩的人数占的比例;C成绩的人数为10人,占的比例=10÷50=20%,表示C的扇形的圆心角=360°×20%=72°;
(2)根据中位数的定义判断;
(3)该班占全年级的比例=50÷500=10%,所以,这次考试中A级和B级的学生数=(13+25)÷10%=380人.
【解答】解:(1)总人数为25÷50%=50人,D成绩的人数占的比例为2÷50×100%=4%,
表示C的扇形的圆心角360°×(10÷50)=360°×20%=72°,
故答案为:4%,72°;
(2)由于A成绩人数为13人,C成绩人数为10人,D成绩人数为2人,而B成绩人数为25人,故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内;
故答案为:B;
(3) ×500=380(人),
答:估计这次考试中A级和B级的学生共有380人.
【点评】本题考查对统计图形的识图、读图能力.从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20.(2016武汉数学)已知:如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数 的图象交于一、三象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(2,m),点B的坐标为(n,﹣2),tan∠BOC= .
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在x轴上有一点E(O点除外),使得△BCE与△BCO的面积相等,求出点E的坐标.
【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)过B点作BD⊥x轴,垂足为D,由B(n,﹣2)得BD=2,由tan∠BOC= ,解直角三角形求OD,确定B点坐标,得出反比例函数关系式,再由A、B两点横坐标与纵坐标的积相等求n的值,由“两点法”求直线AB的解析式;
(2)点E为x轴上的点,要使得△BCE与△BCO的面积相等,只需要CE=CO即可,根据直线AB解析式求CO,再确定E点坐标.
【解答】解:(1)过B点作BD⊥x轴,垂足为D,
∵B(n,﹣2),
∴BD=2,
在Rt△OBD中,tan∠BOC= ,即 = ,
解得OD=5,
又∵B点在第三象限,
∴B(﹣5,﹣2),
将B(﹣5,﹣2)代入y= 中,得k=xy=10,
∴反比例函数解析式为y= ,
将A(2,m)代入y= 中,得m=5,
∴A(2,5),
将A(2,5),B(﹣5,﹣2)代入y=ax+b中,
得 ,
解得 .
则一次函数解析式为y=x+3;
(2)由y=x+3得C(﹣3,0),即OC=3,
∵S△BCE=S△BCO,
∴CE=OC=3,
∴OE=6,即E(﹣6,0).
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用.关键是通过解直角三角形确定B点坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特求A点坐标,求出反比例函数解析式,一次函数解析式.
21.(2016武汉数学)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若sin∠ABC= ,求tan∠BDC的值.
【考点】切线的性质.
【分析】(1)先证明AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,再根据OA=OC得∠OAC=∠OCA,由此即可证明.
(2)连接BM、OC交于点N,根据sin∠ABC=sin∠BCN= = ,设BN=4k,BC=5k,则CN=3k,求出DM,BM,根据tan∠CDB=tan∠DBM= 即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵DC是⊙O切线,
∴OC⊥CD,∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,
∴∠DAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠DAC=∠CAO,
∴AC平分∠DAB.
(2)解:连接BM、OC交于点N.
∵AB是直径,
∴∠AMB=90°,∵AD∥OC,
∴∠ONB=∠AMB=90°=∠CNB,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴sin∠ABC=sin∠BCN= = ,设BN=4k,BC=5k,则CN=3k,
∵∠CDM=∠DMN=∠DCN=90°,
∴四边形DMNC是矩形,
∴DM=CN=3k,MN=BN=4k,CD∥BM,
∴∠CDB=∠DBM,
∴tan∠CDB=tan∠DBM= = = .
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理的高知识,解题的关键是添加辅助线,构造特殊四边形矩形,学会设未知数解决问题,属于中考常考题型.
22.(10分)(2016•武汉模拟)为了美化环境,学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上迸行绿化,规划在中间的一块四边形MNQP上种花,其余的四块三角形上铺设草坪,要求AM=AN=CP=CQ.已知BC=24米,AB=40米,设AN=x米,种花的面积为y1平方米,草坪面积y2平方米.
(1)分别求y1和y2与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(2)当AN的长为多少米时种花的面积为440平方米?
(3)若种花每平方米需200元,铺设草坪每平方米需100元现设计要求种花的面积不大于440平方米,那么学校至少需要准备多少元费用.
【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.
【分析】(1)根据三角形面积公式可得y2的解析式,再用长方形面积减去四个三角形面积,即可得y1的函数解析式;
(2)根据题意知y1=440,即即可得关于x的方程,解方程即可得;
(3)列出总费用的函数解析式,将其配方成顶点式,根据花的面积不大于440平方米可得x的范围,结合此范围根据二次函数性质即可得函数的最大值,从而得解.
【解答】(2016武汉数学)解:(1)根据题意,y2=2× •x•x+2× (40﹣x)(24﹣x)=2x2﹣64x+960,
y1=40×24﹣y2=﹣2x2+64x;
(2)根据题意,知y1=440,即﹣2x2+64x=440,
解得:x1=10,x2=22,
故当AN的长为10米或22米时种花的面积为440平方米;
(3)设总费用为W元,
则W=200(﹣2x2+64x)+100(2x2﹣64x+960)=﹣200(x﹣16)2+147200,
由(2)知当0<x≤10或22≤x≤24时,y1≤440,
在W=﹣200(x﹣16)2+147200中,当x<16时,W随x的增大而增大,当x>16时,W随x的增大而减小,
∴当x=10时,W取得最大值,最大值W=140000,
当x=22时,W取得最大值,最大值W=140000,
∴学校至少要准备140000元.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,理解题意列出相关的函数解析式是解题的根本,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
23.(10分)(2016•武汉模拟)如图,已知等腰△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,连接FE、ED,BF的延长线交ED的延长线于点G,连接GC.
(1)求证:EF∥CG;
(2)若AC= AB,求证:AC=CG;
(3)如图2,若CG=EG,则 = .
【考点】(2016武汉数学)三角形综合题.
【分析】(1)由点D、E分别是线段AC、BC的中点可得出DE为△ABC的中位线,根据中位线的性质即可得出∠CDE=∠A,进而可得出∠FDG=∠A,由此即可证出△ABF≌△DGF(ASA),根据全等三角形的性质即可得出BF=GF,即点F为线段BG的中点,再根据中位线的性质即可得出EF∥CG;
(2)过点C作CM⊥AB于点M,根据边与边的关系找出比例关系 = = ,由此即可得出△BAF∽△CAM,进而得出CF⊥BG,再由点F为线段BG的中点即可得出BC=CG,通过等量代换即可证出AC=CG;
(3)根据DE∥AB即可得出∠GEC=∠CBA,结合两三角形为等腰三角形即可得出△GEC∽△CBA,再根据相似三角形的性质即可得出 ,代入数据即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵点D、E分别是线段AC、BC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AB,
∴∠CDE=∠A.
∵∠CDE=FDG,
∴∠FDG=∠A.
∵点F为线段AD的中点,
∴AF=DF.
在△ABF和△DGF中, ,
∴△ABF≌△DGF(ASA),
∴BF=GF,
∴点F为线段BG的中点,
∵点E为线段BC的中点,
∴EF为△BCG的中位线,
∴EF∥CG.
(2)证明:在图1中,过点C作CM⊥AB于点M.
∵AC=BC,
∴AM=BM= AB.
∵AC= AB,
∴ = = .
∵AF= AD= AC= AB,
∴ = = ,
∴△BAF∽△CAM,
∴∠AFB=∠AMC=90°,
∴CF⊥BG.
∵点F为线段BG的中点,
∴BC=CG,
又∵AC=BC,
∴AC=CG.
(3)解:∵DE为△ABC的中位线,
∴DE= AB,CE= BC= AC,
∵DG=AB,EG=DE+DG,
∴EG= AB.
∵DE∥AB,
∴∠GEC=∠CBA,
∵AC=BC,CG=EG,
∴△GEC∽△CBA,
∴ ,既 ,
∴ = ,
故答案为: .
【点评】本题考查了三角形的中位线、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)找出EF为△BCG的中位线;(2)找出CF⊥BG;(3)根据相似三角形的性质找出 .本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据相似三角形的性质找出对应边的比是关键.
24.(2016武汉数学)(12分)(2016•武汉模拟)已知抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1与x轴交于A、B两点,若m>1,且点A在点B的左侧,OA:OB=1:3
(1)试确定抛物线的解析式;
(2)直线y=kx﹣3与抛物线交于M、N两点,若△AMN的内心在x轴上,求k的值.
(3)设(2)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l∥x轴,将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象,请你结合新图象回答:当直线y= x+b与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y0≤7时,求b的取值范围.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)设A(﹣a,0),B(3a,0),根据根与系数关系可得 解方程组即可解决问题.
(2)设M(m,km﹣3),N(n,kn﹣3),显然m、n是方程: x2﹣(k+ )x+2=0的两根,得到m+n=3k+2,mn=6,再根据直线AM,直线AN两直线与x轴夹角相等,
即tan∠MAB=tan∠NAB,列出方程,整体代入即可求出k的值.
(3)直线y= x+b与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y0≤7,所以b0≤7,又当直线y= x+b经过点C(0,﹣1)时,b=﹣1,所以当﹣1<b≤7时,直线y= x+b与新图象只有一个公共点,由 消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0,当直线y= x+b与新图象只有一个公共点时,方程只有相等的实数根,根据△=0,列出方程求出b,由此即可解决问题.
【解答】解:(1)∵OA:OB=1:3,
∴可以假设A(﹣a,0),B(3a,0),
则有 消去a得到3m2﹣16m+16=0,解得m= 或4(不合题意舍弃),
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣1.
(2)设M(m,km﹣3),N(n,kn﹣3),
∵点M、N在抛物线上,则M(m, m2﹣ m﹣1),N(n, n2﹣ n﹣1),
∴km﹣3= m2﹣ m﹣1,kn﹣3= n2﹣ n﹣1,
显然m、n是方程: x2﹣(k+ )x+2=0的两根,
则m+n=3k+2,mn=6,
∵△CMN的内心在y轴上,A(﹣1,0),B(3,0),
∴直线AM,直线AN两直线与x轴夹角相等,
∴tan∠MAB=tan∠NAB
∴ =﹣ ,
整理得到,2kmn+K(m+n)﹣3(m+n)﹣6=0,
∴12k+k(3k+2)﹣3(3k+2)=0,
解得k=﹣3或 .
(3)∵直线y= x+b与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y0≤7,
∴b0≤7,
当直线y= x+b经过点C(0,﹣1)时,b=﹣1,
∴当﹣1<b≤7时,直线y= x+b与新图象只有一个公共点,
由 消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0,
当直线y= x+b与新图象只有一个公共点时,方程只有相等的实数根,△=0,
∴9+12+12b=0,
∴b=﹣ .
∴当b<﹣ 时,当直线y= x+b与新图象只有一个公共点,
综上所述,当﹣1<b≤7或b<﹣ 时直线y= x+b与新图象只有一个公共点.