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2018年长沙市中考数学模拟试题
一、选择题
1．下列实数中，为无理数的是（）
A．3.14 B．
C．
D．
2．下列计算正确的是（）
A．a2+a2=a4 B．（a2）3=a5 C．2a﹣a=2 D．（ab）2=a2b2
3．长沙磁浮快线2016年5月6日上午载客试运营．这是我国首条完全拥有自主知识产权的中低速磁浮商业运营铁路，标志着中国磁浮技术实现了从研发到应用的全覆盖，成为世界上少数几个掌握该项技术的国家之一．该工程总投资42.9亿元，则数据42.9亿用科学记数法表示为（）
A．42.9×108 B．4.29×108 C．4.29×109 D．4.3×109
4．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
5．下列四个命题中，正确的是（）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形的每条对角线平分一组对角
D．正方形的对角线互相平分
6．不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（）
A．
B．
C．
D．
7．2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
8．下列说法正确的是 （）
A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
9．已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤﹣1
10．如图，点C，D在AB同侧，∠CAB=∠DBA，下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是（）
A．∠D=∠C B．BD=AC C．∠CAD=∠DBC D．AD=BC
11．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
12．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）
A．（11﹣2
）米 B．（11
﹣2）米 C．（11﹣2）米 D．（11﹣4）米
二、填空题
13．袋中有4个红球，x个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为
，则x的值为 ．
14．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．因式分解：3a2﹣6a+3= ．
16．方程
﹣
=0的解是 ．
17．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC= ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB为半径的⊙C与边AB交于点D．若点D为AB的中点，AB=6，则⊙C的半径长为 ．
三、解答题
19．2sin60°+（﹣
）﹣1﹣20160﹣|1﹣
|
20．先化简，再求值：
÷（
+x﹣1），其中x是方程x2+x﹣6=0的根．
21．西宁市教育局自实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法列出所有等可能的结果，并求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
22．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
23．某商场购进甲、乙两种服装，每件甲种服装比每件乙种服装贵25元，该商场用2000元购进甲种服装，用750元购进乙种服装，所购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍．
（1）分别求每件甲种服装和每件乙种服装的进价；
（2）若每件甲种服装售价130元，将购进的两种服装全部售出后，使得所获利润不少于750元，问每件乙种服装售价至少是多少元？
24．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．
25．对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y=
的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．
26．如图，直线y=﹣
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下设△ODE的面积为S求S关于t的函数关系式，并直接写出S的最大值．
2018年长沙中考数学模拟试题参考答案
一、选择题
1．下列实数中，为无理数的是（）
A．3.14 B．
C．
D．
【考点】26：无理数．
【分析】根据无理数的定级求解即可．
【解答】解：3.14，
，是有理数，
是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，
，0.8080080008…（2017•淮安模拟）下列计算正确的是（）
A．a2+a2=a4 B．（a2）3=a5 C．2a﹣a=2 D．（ab）2=a2b2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，原式错误，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，原式错误，故本选项错误；
C、2a﹣a=a，原式错误，故本选项错误；
D、（ab）2=a2b2，原式正确，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
3．长沙磁浮快线2016年5月6日上午载客试运营．这是我国首条完全拥有自主知识产权的中低速磁浮商业运营铁路，标志着中国磁浮技术实现了从研发到应用的全覆盖，成为世界上少数几个掌握该项技术的国家之一．该工程总投资42.9亿元，则数据42.9亿用科学记数法表示为（）
A．42.9×108 B．4.29×108 C．4.29×109 D．4.3×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：42.9亿用科学记数法表示为4.29×109，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选C．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．
判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，判断中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
5．下列四个命题中，正确的是（）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形的每条对角线平分一组对角
D．正方形的对角线互相平分
【考点】O1：命题与定理．
【分析】分别利用菱形以及矩形和平行四边形以及正方形对角线的关系求出即可．
【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；
B、矩形的对角线相等，故此选项错误；
C、平行四边形的对角线只互相平分，故此选项错误；
D、正方形的对角线互相平分，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形对角线关系是解题关键．
6．不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，即可得出选项．
【解答】解：
，
∵解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：1≤x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
故选D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
7．2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】利用中位数及众数的定义确定答案即可．
【解答】解：∵数据31出现了3次，最多，
∴众数为31，
∵排序后位于中间位置的数是31，
∴中位数是31，
故选C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．下列说法正确的是 （）
A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V2：全面调查与抽样调查；X1：随机事件；X3：概率的意义．
【分析】根据样本容量为所抽查对象的数量，抽样调查，随机事件，即可解答．
【解答】解：A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，故错误；
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏有一次中奖，故错误；
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确；
D．因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了样本容量，抽样调查，随机事件，解决本题的关键是明确相关概念．
9．已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤﹣1
【考点】F6：正比例函数的性质．
【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+3＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵正比例函数 y=（m+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴m+1＜0，
解得，m＜﹣1；
故选A．
【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
10．如图，点C，D在AB同侧，∠CAB=∠DBA，下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是（）
A．∠D=∠C B．BD=AC C．∠CAD=∠DBC D．AD=BC
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据图形知道隐含条件BC=BC，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、添加条件∠D=∠C，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
B、添加条件BD=AC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
C、∵∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC，
∴∠DAB=∠CBA，
还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
D、添加条件AD=BC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，符合SSA和AAA不能推出两三角形全等．
11．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）
A． B． C． D．
【考点】H2：二次函数的图象．
【分析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．
12．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）
A．（11﹣2
）米 B．（11﹣2
）米 C．（11﹣2
）米 D．（11﹣4）米
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．
【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴
=
，
∴PB=
=
=11米，
∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
故选：D．
【点评】本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念．
二、填空题
13．袋中有4个红球，x个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为
，则x的值为 12 ．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据黄球的概率为，列出关于x的方程，解方程即可求出x的值．
【解答】解：设袋中有x个黄球，根据题意得
=，
解得x=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
．
14．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 4
cm．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=
=4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高=
=4
（cm）．
故答案为4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
15．因式分解：3a2﹣6a+3= 3（a﹣1）2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式﹣3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣6a+3，
=3（a2﹣2a+1），
=3（a﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其它方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
16．方程
﹣
=0的解是 x=﹣2 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2﹣2x=0，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解，
故答案为：x=﹣2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC= 4 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE=2AD，
∴BD=2AD，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴EC=2AE=2×2=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB为半径的⊙C与边AB交于点D．若点D为AB的中点，AB=6，则⊙C的半径长为 3 ．
【考点】M2：垂径定理；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理．
【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AB，代入求出即可．
【解答】解：如图，
连接CD，
∵在△ACB中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=
AB=
6=3，
∴⊙C的半径为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据定理得出CD=AB是解此题的关键．
三、解答题
19．（2016•长沙模拟）2sin60°+（﹣）﹣1﹣20160﹣|1﹣|
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2×
﹣2﹣1﹣+1=﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2016•长沙模拟）先化简，再求值：
÷（
+x﹣1），其中x是方程x2+x﹣6=0的根．
【考点】6D：分式的化简求值；A3：一元二次方程的解．
【分析】首先对括号内的式子通分相加，把除法化为乘法，计算乘法即可化简，然后解方程求得x的值，代入化简后 的式子求解．
【解答】解：原式=
÷
=
÷
=÷
=•
=
．
解方程x2+x﹣6=0得x1=﹣3，x2=2．
当x=﹣3时，原式=
=
；
当x=2时，原式无意义．
【点评】本题考查分式的化简求值，以及一元二次方程的解法，注意到分式有意义的条件是关键．
21．（2012•西宁）西宁市教育局自实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 20 名同学；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法列出所有等可能的结果，并求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据A组总人数与所占的百分比进行计算即可得解；
（2）求出C组的总人数，然后减去男生人数即可得到女生人数，求出D组人数所占的百分比，再求出D组的总人数，然后减去女生人数得到男生人数，最后补全统计图即可；
（3）画出树状图，根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）（1+2）÷15%=20人；
（2）C组人数为：20×25%=5人，
所以，女生人数为5﹣3=2人，
D组人数为：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）=20×10%=2人，
所以，男生人数为2﹣1=1人，
补全统计图如图；
（3）画树状图如图：
所有等可能结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，
P（一男一女）=
=
．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（2016•长沙模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
【考点】LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面积=MD•AB，即可得出结果；菱形BMDN的面积=两条对角线长积的一半，即可求出MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD•AB=5×4=20，
∵BD=
=4
，
∵菱形BMDN的面积=BD•MN=20，
∴MN=2×
=2．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
23．（2016•长沙模拟）某商场购进甲、乙两种服装，每件甲种服装比每件乙种服装贵25元，该商场用2000元购进甲种服装，用750元购进乙种服装，所购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍．
（1）分别求每件甲种服装和每件乙种服装的进价；
（2）若每件甲种服装售价130元，将购进的两种服装全部售出后，使得所获利润不少于750元，问每件乙种服装售价至少是多少元？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设甲品牌服装每套进价为x元，则乙品牌服装每套进价为（x﹣25）元，根据购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍，列出方程，求出x的值，即可得出答案；
（2）设每件乙种服装售价至少是m元，根据甲一件的利润×总的件数+乙一件的利润×总的件数≥总利润，列出不等式，求出m的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）设甲品牌服装每套进价为x元，则乙品牌服装每套进价为（x﹣25）元，由题意得：
=
×2，
解得：x=100，
经检验：x=100是原分式方程的解，
x﹣25=100﹣25=75．
答：甲、乙两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
（2）设每件乙种服装售价至少是m元，根据题意得：
（130﹣100）×
+（m﹣75）×
≥750，
解得：m≥90．
答：每件乙种服装售价至少是90元．
【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意、找到合适的等量关系列出算式是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
24．（2014•镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．
【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切线，
（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，
（3））由△EAF∽△CBA，可得出
=
，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切线．
（2）证明：如图2，连接BC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点，
∴在RT△EAF中，AB=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．
（3）解：∵△EAF∽△CBA，
∴
=
，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴
=
，解得AB=2．
∴EF=4，
∴AE=
=
=4
，
【点评】本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解．
25．（2016•长沙模拟）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y=
的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设点P的坐标为（m，
），根据幸福指数的定义，即可得出关于m的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围，由此即可得出一次函数y=﹣x+1是幸福函数；
（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，由y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，），
∴d=|m|+||=2，
解得：m1=﹣1，m2=1，
经检验，m1=﹣1、m2=1是原分式方程的解，
∴满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．
（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数，理由如下：
设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|﹣x+1|，
当x＜0时，d=|x|+|﹣x+1|=﹣x﹣x+1=1﹣2x＞1；
当0≤x≤1时，d=|x|+|﹣x+1|=x﹣x+1=1；
当x＞1时，d=|x|+|﹣x+1|=x+x﹣1=2x﹣1＞1．
∴对于y=﹣x+1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，
∴一次函数y=﹣x+1是幸福函数．
（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|，
∵y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1），m＞0，
∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考虑．
①当x≤0时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=﹣x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m﹣1）2﹣m﹣1，
当x=0时，d取最小值，最小值为m2+m，
∴m2+m≥1，
解得：m≥
；
②0＜x＜m时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1≥1，
∵（x﹣m）2≥0，
∴m﹣1≥1，
解得：m≥2；
③当m≤x≤m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x﹣x2+（2m+1）x﹣m2﹣m=﹣（x﹣m﹣1）2+m+1，
当x=m时，d取最小值，最小值为m，
∴m≥1；
④当x＞m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1＞m≥1，
∴m≥1．
综上所述：
∴﹣（m+1）≥1，
解得：若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．
【点评】本题考查了二次函数的性质、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及绝对值，解题的关键是：（1）根据幸福指数的定义，找出关于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考虑．
26．（2016•长沙模拟）如图，直线y=﹣
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下设△ODE的面积为S求S关于t的函数关系式，并直接写出S的最大值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
（3）当E在OC上，D在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜
相遇时用的时间，此时S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
【解答】解：（1）令y=0，则x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4．
又∵该函数图象过点A（3，0），B（﹣1，0），
∴
，
解得
∴所求二次函数的关系式为y=﹣
x2+
x+4．
（2）不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
设点E的坐标为（x1，y1）
∴
=
，
∴|x1|
∵DE∥OC，
∴=
t
∴t=
∵t=＞2，不满足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
（3）根据题意得D，E两点相遇的时间为
=
（秒）
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=×
t•4t=3t2；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x2，y2）
∴
=
，|y2|=
∴
∴S=
×
t×=﹣
t2+
t；
（ⅲ）当2＜t＜
时，
设点E的坐标为（x3，y3），类似ⅱ可得|y3|=
设点D的坐标为（x4，y4）
∴
=
，|y4|=
∴S=S△AOE﹣S△AOD
=×3×﹣×3×
=﹣
t+
．
当0＜t≤1时，S=
×
t•4t=3t2，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=﹣
t2+
t．函数的最大值是：
，
当2＜t＜
时，S=﹣
t+
，0＜S＜
，
∴S最大=
．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．