2018年乌鲁木齐中考数学模拟试题word版（含解析）

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2018年乌鲁木齐中考数学模拟试题

一、数学模拟试题选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．﹣的相反数是（）

A．              B．﹣              C．2              D．﹣2

2．下列计算正确的是（）

A．2a2+4a2=6a4              B．（a+1）2=a2+1              C．（a2）3=a5              D．x7÷x5=x2

3．如图，下列图形中是中心对称图形的是（）

A．              B．              C．              D．

4．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A．              B．              C．              D．

5．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）

A．0  5              B．0  1              C．﹣4  5              D．﹣4  1

6．为了解某班学生每天使用零花钱的使用情况，张华随机调查了15名同学，结果如下表：

关于这15名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（）

A．众数是5元              B．平均数是2.5元

C．极差是4元              D．中位数是3元

7．如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD=8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为（）

A．              B．              C．              D．

8．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b＞0的解集为（）

A．x＞﹣2              B．x＜﹣2              C．x＞2              D．x＜3

9．如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

A． a              B．a              C．              D．

10．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）

A．              B．             

C．              D．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．据国家考试中心发布的信息，我国今年参加高考的考生数达11 600 000人，这个数据用科学记数法且保留两个有效数字可表示为人．

12．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1=．

13．秦老师想制作一个圆锥模型，该模型的侧面是用一个半径为9cm、圆心角为240°的扇形铁皮制作的，另外还需用一块圆形铁皮做底．请你帮秦老师计算这块圆形铁皮的半径为cm．

14．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．

15．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标为．

三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算过程．）

16．计算：．

17．先化简，再求值：÷（m﹣1﹣），其中m=．　

18．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．

（1）求证：DF=FE；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长．

19．如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？

20．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若S梯形OBCD=，求点C的坐标．

21．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；

（2）将图①补充完整；

（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？

22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长．

23．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

注：利润=售价﹣成本．

24．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

2018年乌鲁木齐中考数学模拟试题参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．﹣的相反数是（）

A．              B．﹣              C．2              D．﹣2

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解．

【解答】解：根据概念得：﹣的相反数是．

故选A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．下列计算正确的是（）

A．2a2+4a2=6a4              B．（a+1）2=a2+1              C．（a2）3=a5              D．x7÷x5=x2

【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；

B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；

C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；

D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．

3．如图，下列图形中是中心对称图形的是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项错误．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可．

【解答】解：

∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．

故选B．

【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

5．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）

A．0  5              B．0  1              C．﹣4  5              D．﹣4  1

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】把y=（x﹣2）2+k化为一般式，根据对应相等得出b，k的值．

【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k，

∴x2+bx+5=x2﹣4x+4+k，

∴b=﹣4，4+k=5，

∴k=1．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式，把一般式化为顶点式，或把顶点式化为一般式是解题的关键．

6．为了解某班学生每天使用零花钱的使用情况，张华随机调查了15名同学，结果如下表：

关于这15名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（）

A．众数是5元              B．平均数是2.5元

C．极差是4元              D．中位数是3元

【考点】极差；加权平均数；中位数；众数．

【专题】计算题．

【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．

【解答】解：∵每天使用3元零花钱的有5人，

∴众数为3元；

==≈2.93，

∵最多的为5元，最少的为0元，

∴极差为：5﹣0=5；

∵一共有15人，

∴中位数为第8人所花钱数，

∴中位数为3元．

故选：D．

【点评】本题考查了极差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．

7．如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD=8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为（）

A．              B．              C．              D．

【考点】垂径定理；解直角三角形．

【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可求得CE的长，然后由勾股定理即可求得OE，继而求得sin∠OCE的值．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=CD=×8=4，OC=AB=×10=5，

∴OE==3，

∴sin∠OCE==．

故选B．

【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

8．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b＞0的解集为（）

A．x＞﹣2              B．x＜﹣2              C．x＞2              D．x＜3

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据函数图象知：一次函数过点（3，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣4）﹣2b＞0中进行求解．

【解答】解：∵一次函数y=kx+b经过点（3，0），

∴3k+b=0，

∴b=﹣3k．

将b=﹣3k代入k（x﹣4）﹣2b＞0，

得k（x﹣4）﹣2×（﹣3k）＞0，

去括号得：kx﹣4k+6k＞0，

移项、合并同类项得：kx＞﹣2k；

∵函数值y随x的增大而减小，

∴k＜0；

将不等式两边同时除以k，得x＜﹣2．

故选B．

【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

9．如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

A． a              B．a              C．              D．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．

【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，

∴∠MBH+∠HBN=60°，

又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，

∴∠HBN=∠GBM，

∵CH是等边△ABC的对称轴，

∴HB=AB，

∴HB=BG，

又∵MB旋转到BN，

∴BM=BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG=NH，

根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，

此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，

∴MG=CG=×a=，

∴HN=，

故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

10．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）

A．              B．             

C．              D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题；动点型．

【分析】根据实际情况来判断函数图象．

【解答】解：当点p由点A运动到点B时，△APD的面积是由小到大；

然后点P由点B运动到点C时，△APD的面积是不变的；

再由点C运动到点D时，△APD的面积又由大到小；

再观察图形的BC＜AB＜CD，故△APD的面积是由小到大的时间应小于△APD的面积又由大到小的时间．

故选B．

【点评】应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．据国家考试中心发布的信息，我国今年参加高考的考生数达11 600 000人，这个数据用科学记数法且保留两个有效数字可表示为　1.2×107　人．

【考点】科学记数法与有效数字．

【专题】应用题．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于11 600 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

【解答】解：11 600 000≈1.2×107．

【点评】较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．

12．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1=　（a+b+1）（a﹣b﹣1）　．

【考点】因式分解-分组分解法．

【分析】首先将后三项组合利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解即可．

【解答】解：a2﹣b2﹣2b﹣1

=a2﹣（b2+2b+1）

=a2﹣（b+1）2

=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．

故答案为：（a+b+1）（a﹣b﹣1）．

【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，熟练利用公式是解题关键．

13．秦老师想制作一个圆锥模型，该模型的侧面是用一个半径为9cm、圆心角为240°的扇形铁皮制作的，另外还需用一块圆形铁皮做底．请你帮秦老师计算这块圆形铁皮的半径为　6　cm．

【考点】弧长的计算．

【专题】压轴题．

【分析】根据弧长公式求出弧长，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长等于12π，列出方程求解．

【解答】解： =12π

设圆形铁皮的半径为r，

则2πr=12π，

解得：r=6cm．

这块圆形铁皮的半径为6cm．

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

14．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=　65°　．

【考点】圆周角定理．

【专题】推理填空题．

【分析】由已知可求得∠A的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ABD的度数．

【解答】解：连接AD．

∵∠C=25°（已知），

∴∠C=∠A=25°；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ABD=90°﹣25°=65°．

故答案是：65°．

【点评】本题考查了圆周角定理．解答该题时，需熟练运用圆周角定理及其推论．

15．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标为　（，）　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．

【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A′D、OD的长度，即可解决问题．

【解答】解：如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；

设A′D=λ，OD=μ；

∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；

设AB=OC=γ，BC=AO=ρ；

∵OB=，tan∠BOC=，

∴，

解得：γ=2，ρ=1；

由题意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO；

由勾股定理得：λ2+μ2=1①，

由面积公式得：②；

联立①②并解得：λ=，μ=．

故答案为（，）．

【点评】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算过程．）

16．计算：．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式=3﹣1+4﹣=2+3．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．先化简，再求值：÷（m﹣1﹣），其中m=．

【考点】分式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=•=•=，

当m=时，原式=．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．

（1）求证：DF=FE；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长．

【考点】平行四边形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）可过点C延长DC交BE于M，可得C，F分别为DM，DE的中点；

（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；

【解答】解：（1）证明：延长DC交BE于点M，

∵BE∥AC，AB∥DC，

∴四边形ABMC是平行四边形，

∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，

则CF为△DME的中位线，

DF=FE；

（2）由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，

又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，

∴AC=ME，

∴BE=2BM=2ME=2AC，

又∵AC⊥DC，

∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=AD•sin∠ADC=，

∴BE=．

【点评】本题结合三角形的有关知识综合考查了平行四边形的性质，解题的关键是理解中位线的定义，会用勾股定理求解直角三角形．

19．如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】应用题．

【分析】高速公路是否会穿过居民区即是比较点A到MN的距离与半径的大小，于是作AC⊥MN于点C，求AC的长．解直角三角形ACM和ACB．

【解答】解：作AC⊥MN于点C

∵∠AMC=60°﹣30°=30°，∠ABC=75°﹣30°=45°

设AC为xm，则AC=BC=x

在Rt△ACM中，MC=400+x

∴tan∠AMC=，即

解之，得x=200+200

∵＞1.5

∴x=200+200＞500．

∴如果不改变方向，高速公路不会穿过居民区．

【点评】怎么理解是否穿过居民区是关键，与最近距离比较便知应作垂线，构造Rt△求解．

20．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若S梯形OBCD=，求点C的坐标．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】（1）因为直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，所以可设y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求出答案；

（2）因为点C为线段AB上的一动点，CD⊥x轴于点D，所以可设点C坐标为（x，﹣ x+），那么OD=x，CD=﹣x+，利用梯形的面积公式可列出关于x的方程，解之即可．

【解答】解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，

把A，B的坐标代入得k=﹣，b=

所以直线AB的解析为：y=﹣x+.

（2）设点C坐标为（x，﹣ x+），那么OD=x，CD=﹣x+．

∴S梯形OBCD==﹣x2+x．

由题意：﹣ x2+x=，

解得x1=2，x2=4（舍去），

∴C（2，）．

【点评】本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和解一元二次方程的有关知识，解决这类问题常用到方程和转化等数学思想方法．

21．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了　200　名学生；

（2）将图①补充完整；

（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据A级人数除以A级所占的百分比，可得抽测的总人数；

（2）根据抽测总人数减去A级、B级人数，可得C级人数，根据C级人数，可得答案；

（3）根据圆周角乘以C级所占的百分比，可得答案；

（4）根据学校总人数乘以A级与B级所占百分比的和，可得答案．

【解答】解：（1）此次抽样调查中，共调查了50÷25%=200名学生，

故答案为：200；

（2）C级人数为200﹣50﹣120=30（人），

条形统计图；

（3）C级所占圆心角度数：360°×（1﹣25%﹣60%）=360°×15%=54°

（4）达标人数约有8000×（25%+60%）=6800（人）．

【点评】本题考查了条形统计图，观察统计图获得有效信息是解题关键．

22．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长．

【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；

（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．

【解答】（1）证明：连接OA．

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切线。

（2）解：连接AD．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CAD=90°，

∴AD=AC•tan30°=3×=，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，

∴∠P=∠PAD，

∴PD=AD=．

【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

23．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

注：利润=售价﹣成本．

【考点】一元一次不等式的应用．

【专题】方案型．

【分析】（1）根据“该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元”，列出不等式进行求解，确定建房方案；

（2）根据：利润=售价﹣成本，利润就可以写成关于x的函数，根据函数的性质，就可以求出函数的最大值；

（3）利润W可以用含a的代数式表示出来，对a进行分类讨论．

【解答】解：（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．

由题意知2090≤25x+28（80﹣x）≤2096

解得48≤x≤50

∵x取非负整数，∴x为48，49，50．

∴有三种建房方案：

方案一：A种户型的住房建48套，B种户型的住房建32套，

方案二：A种户型的住房建49套，B种户型的住房建31套，

方案三：A种户型的住房建50套，B种户型的住房建30套；

（2）设该公司建房获得利润W（万元）．

由题意知W=（30﹣25）x+（34﹣28）（80﹣x）=5x+6（80﹣x）=480﹣x，

∴当x=48时，W最大=432（万元）

即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大；

（3）由题意知W=（5+a）x+6（80﹣x）

=480+（a﹣1）x

∴当0＜a＜1时，x=48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套．

当a=1时，a﹣1=0，三种建房方案获得利润相等．

当a＞1时，x=50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套．

【点评】本题主要考查不等式在现实生活中的应用，是一个函数与不等式相结合的问题．在运算过程中要注意对a进行分类讨论．

24．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；分类讨论．

【分析】方法一：

（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．

（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．

方法二：

（3）用参数表示点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解．

（4）列出点M的参数坐标，利用MO=MB求解．此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点．

【解答】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：

，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；

（3）存在；

如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），

①若OB=OP，

则22+|y|2=42，

解得y=±2，

当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，

∴∠P′OD=60°，

∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，

即P′、O、B三点在同一直线上，

∴y=2不符合题意，舍去，

∴点P的坐标为（2，﹣2）

②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．

方法二：

（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），

∵△POB为等腰三角形，

∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，

（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，

（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，

当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，

（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，

∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．

（4）∵点B，点P关于y轴对称，

∴点M在y轴上，设M（0，m），

∵⊙M为△OBF的外接圆，

∴MO=MB，

∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，

∴m=﹣，M（0，﹣）．

【点评】此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．

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