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2016年晋中中考数学试题
一、数学试题选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．
的相反数是（）
A．
B．-6C．6 D．
2．不等式组
的解集是（ ）
A．x>5B．x<3 C．-5<x<3 D．x<5
3．以下问题不适合全面调查的是（）
A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况 D．调查某篮球队员的身高
4．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
5．（2016·山
西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（）
A．
B．
C．
D．
6．下列运算正确的是 （）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）
A．
B．
C．
D．
8．将抛物线
向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在
ABCD中，AB为
的直径，
与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，
，则
的长为（）
A．
B．
C．
D．
10．宽与长的比是
（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作
，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGHD．矩形DCGH
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1
，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．
12．已知点（m-1，
），（m-3，
）是反比例函数
图象上的两点，则
（填“>”或“=”或“<”）
13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．
14．如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自
动转动两次，当指针
指向的数都是奇数的概率为
15．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是
的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）先化简，在求值：
，其中x=-2．
17．（本题7分）解方程：
18．（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．
（1）补全条形统计图和
扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?
（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最
感兴趣的学生的概率是
19．（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是
的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是
的中点，[来源:学科网]
∴MA=MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；[来源:.Com]
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于
，AB=2，D为
上 一点, 
，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．
20．（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货
且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
21．（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为
，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，
于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）
22．（本题12分）综合与实践[来源:学§科§网Z§X§X§K]
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（
）沿对角线AC剪开，得到
和
．
操作发现
（1）将图1中的
以A为旋转中心，
逆时针方向旋转角
，使 
，
得到如图2所示的
，分别延长BC
和
交于点E，则四边形
的
状是 ；……………（2分）
（2）创新小组将图1中的以A为
旋转中心，按逆时针方向旋转角
，使
，得到如图3所
示的，连接DB，
，得到四边形
，发现它是矩形．请你证明这个论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将
沿着射线DB方向平移acm，得到
，连接
，
，使四边形
恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到
，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2） 试探究抛物线上是否存在点F，使
≌
，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，
是等腰三角形．
2016年晋中中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． A 2． C 3．C 4． A 5．B
6．D 7．B 8．D 9．C 10．D
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11． （3，0） ．
12． >
13．（4n+1）
14．
15．
16．（1）解答
：原=9-5-4+1 ……………………………（4分）
=1．……………………………（5分）
（2）解答：原式=
……………………………（2分）
=
……………………………（3分）
=
……………………………（4分）
当x=-2时，原式=
……………………（5分）
17． 解答：解法一：
原方程可化为
……………………………（1分）
．……………………………（2分）
． ……………………………（3分）
．……………………………（4分）
∴ x-3=0或x-9=0． ……………………………（5分）
解法二：
原方程可化为
……………………………（3分）
这里a=1，b=-12，c=27．∵
∴
． ……………………………（5分）
因此原方程的根为 
，
． ……………………………（7分）
18．
解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示
（2）1800×30%=540（人）
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人
（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”
最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或
）
19． 解答：（1）证明：又∵
， …………………（1分）
∴ △MBA≌△MGC．…………………（2分）
∴MB=MG． …………………（3分）
又∵MD⊥BC，∵BD=GD． …………………（4分）
∴CD=CG+GD=AB+BD．…………………（5分）
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，
D为上 一点， ，AE⊥BD与点E，则△BDC
的长是 
．
20．解答：（1）方案A：函数表达式为
．………………………（1分）
方案B：函数表达式为
………………………（2分）
（2）由题意，得
．………………………（3分）
解不等式，得x<2500 ………………………（4分）
∴当购买量x的取值范围为
时，选用方案A
比方案B付款少．………………………（5分）
（3）他应选择方案B． ………………………（7分）
21．解答：过点A作
，垂足为G．…………（1分）
则
，在Rt
中，
．…………（2分）
由题意，得
．…………（3分）
（cm）．…（4分）
连接FD并延长与BA的延长线交于点H．…（5
分）
由题意，得
．在Rt
中，
．……………………（6分）
．………（7分）
在R
t
中，
（cm）．……………（9分）
答：支撑角钢CD的长为45cm，EF的长为
cm．……………………（10分）
22．解答：（1）菱形
（2）证明：作
于点E．…………………………………………（3分）
由旋转得
，
．
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，同理
，
，又
，
四边形
是平行四边形，…………………（4分）
又
，
，
，
∴四边形是矩形…………………………………………（5分）
（3）过点B作
，垂足为F，
，
．
在Rt
中，
，
在
和
中，
， 
．
∽
，
，即
，解得
，
，
，
．…………………（7分）
当四边形恰好为正方形时，分两种情况：
①点
在边
上．
．…………………（8分）
②点在边的延长线上，
．……………（9分）
综上所述，a的值为
或
．
（4）：答案不唯一．
例：画出正确图形．……………………………………（10分）
平移及构图方法：将沿着射线CA方向平移，平移距离为
的长度，得到
，
连接
．………………………（11分）
结论：四边形是平行四边形……（12分）
23．解答：（1）
抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得
…………………………………（1分）
抛物线的函数表达式为
……………………………（2分）
，抛物线的对称轴为直线
．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）…………………（4分）
设直线l的函数表达式为
．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得
．
直线l的函数表达式为
………………………………………………………（5分）
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为
，即点E的坐标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）
（2）抛物线上存在点F，使≌．
点F的坐标为（
）或（
）．……………………………………（8分）
（3）解法一：分两种情况：
①当
时，是等腰三角形．
点E的坐标为（3，－4），
，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则
，
……………………………………（9分）
点M的坐标为（0，－5）．
设直线ME的表达式为
，
，解得
，ME的函数表达式为
，令y=0，得
，解得x=15，点H的坐标为（15，0）…（10分）
又MH//PB，
，即
，
……………………………（11分）
②当
时，是等腰三角形．
当x=0时，
，点C的坐标为（0，－8），
，OE=CE，
，又因为，
，
，CE//PB………………………………………………………………（12分）
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为
，
，解得
，CE的函数表达式为
，令y=0，得
，
，点N的坐标为
（6，0）………………………………………………………………（13分）
CN//PB，
，
，解得
………………（14分）
综上所述，当m的值为
或
时，是等腰三角形．
解法二：
当x=0时， ，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为
（3，－4），，，OE=CE，
，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
① 当时，是等腰三角形．
，，CE//PB………………………………………（9分）
又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，
，
，HM//y轴，
∽
，
……………………………………………………（10分）
………………………………………………………（11分）
②当时，是等腰三角形．[来源:Z。xx。k.Com]
轴，∽
，
，
……………（12分）
，
，轴，∽，…………………………………………………（13分）
………………（14分）
当m的值为或时，是等腰三角形．