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2016宜昌市中考数学模拟试题
一．选择题
1．地球赤道半径约为6378千米，这个数据用科学记数法表示为（ ）千米．
A．6.378×104 B．63.78×102 C．6378×10﹣4 D．6.378×103
2．在﹣
，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．0 D．1
3．五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
4．某次数学测试，“奋发有为组”学习小组6个同学按照学号顺序，数学成绩分别为106，98，94.102，116，85，那么这个小组这次数学测试成绩的中位数是（ ）
A．89.5 B．98 C．102 D．100
5．（2016宜昌数学）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个等腰三角形的两条边长为3，8，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．19 B．14 C．19或14 D．以上均有可能
7．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6
C．（a2）3=a5 D．（﹣3x2y）3=﹣27x6y3
8．JDF学校2015年春季学期组织一次校园文化知识竞赛，准备期间，拟从A，B，C，D四套卷中抽取两套题进行模拟训练，A卷恰好被抽中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
9．（2016宜昌数学）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边的中点，AC=6，BD=8，那么四边形EFGH的周长是（ ）
A．20 B．28
C．14 D．以上答案均有可能
10．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于点D，那么∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．40° D．60°
11．（2016宜昌数学）代数式
有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≠﹣2 C．x≥1且x≠﹣2 D．x≠1
12．如图，CD是圆O的直径，AC，BD是弦，C是弧AB的中点，且∠BDC=25°，则∠AOC的度数是（ ）
A．25° B．45° C．50° D．60°
13．如图，在4×4的网格中，将△ABC绕B顺时针旋转90°得到△BDE，则A走过的路径的长是（ ）
A．π B．2π C．3π D．1.5π
14．（2016宜昌数学）如图，点M，N在数轴上表示的数分别是m，n，则（ ）
A．m+n＞0 B．m﹣n＞0 C．|m|＞|n| D．m2＜n2
15．在同一坐标系下，y=ax2+bx和 y=﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共9小题，计75分）
16．（6分）计算：
．
17．（6分）先化简，
÷
，再选一个合适的a值代入求值．
18．（2016宜昌数学）（8分）如图，在△ABC中，
（1）请你作出AC边上的高BD （尺规作图）；
（2）若AB=AC=8，BC=6，求BD．
19．（8分）如图，已知反比例函数y=
与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，且点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣2．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
20．（8分）（2016宜昌数学）某车站在春运期间为改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称购票用时，单位为分钟）．下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图．解答下列问题：
分 组 |
| 频数 | 频率 |
一组 | 0≤t＜5 | 0 | 0 |
二组 | 5≤t＜10 | 10 | 0.10 |
三组 | 10≤t＜15 | 10 |
|
四组 | 15≤t＜20 |
| 0.50 |
五组 | 20≤t＜25 | 30 | 0.30 |
合 计 | 100 | 1 | |
（1）这次抽样的样本容量是多少？
（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图：
（3）旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组？
（4）若每增加一个购票窗口可以使平均购票用时降低5分钟，要使平均购票用时不超过10分钟，那么请你估计最少需增加几个窗口？
21．（2016宜昌数学）（8分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠F=
，求AC的长．
22．（2016宜昌数学）（9分）A市2000年时，有m万人，每年人均用水20吨，当年库存水量刚好供全市使用一年；到2010年时，A市有2000万人，每年人均用水36吨，原有库存水量不足，须从外地调水满足需要，已知外调供水管道数为a条．预计到2020年时，与2010年相比，A市人数下降10%，每年人均用水量下降
（1）预计2020年A市居民一年用水总量是多少万吨？
（2）若A市的库存水量保持不变，到2010年，库存水量和a条外调供水管道供水一年的水量，刚好让全市居民使用一年，到2020年，库存水量和a条外调供水管道供水半年的水量，刚好满足A市居民使用一年；如果库存水量从2010年起，每一个10年都比前一个10年按一个相同百分数n增加，这样2020年比2010年的外调水量将减少94%，求百分数n．
23．（10分）如图，▱ABCD中，AB=8，∠DAB的平分线交边CD于E（点E不与A，D重合），过点E作AE的垂线交BC所在直线于点G，交AB所在直线于点F．
（1）当点G在CB的延长线上时（如图2），判断△BFG是什么三角形？说明理由．如果点G在B，C之间时此结论是否仍然成立？（不必说明理由）
（2）当点G在B，C之间时（如图1），求AD的范围；
（3）当2BG=BC时，求AD的长度．
24．（2016宜昌数学）（12分）抛物线y=ax2和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（﹣2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．
（1）根据题意可求出a= ，点E的坐标是 ．
（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；
（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）
2016宜昌市中考数学模拟试题
参考答案与试题解析
一．（2016宜昌数学）选择题
1．地球赤道半径约为6378千米，这个数据用科学记数法表示为（ ）千米．
A．6.378×104 B．63.78×102 C．6378×10﹣4 D．6.378×103
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6378千米，这个数据用科学记数法表示为6.378×103千米，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．在﹣
，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣
B．﹣2 C．0 D．1
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：在﹣，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记法则的内容是解此题的关键．
3．五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°=540°．故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
4．某次数学测试，“奋发有为组”学习小组6个同学按照学号顺序，数学成绩分别为106，98，94.102，116，85，那么这个小组这次数学测试成绩的中位数是（ ）
A．89.5 B．98 C．102 D．100
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：85、94、98、102、106、116，
最中间两个数的平均数是：（98+102）÷2=100；
故选D．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，解答时应先排序，熟练掌握中位数的概念是本题的关键．
5．（2016宜昌数学）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从物体左面看，左边2列，右边是1列．故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
6．（2016宜昌数学）一个等腰三角形的两条边长为3，8，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．19 B．14 C．19或14 D．以上均有可能
【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为8和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为8时，周长=8+8+3=19；
当腰长为3时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为8，这个三角形的周长是19．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6
C．（a2）3=a5 D．（﹣3x2y）3=﹣27x6y3
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；24：立方根；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．
【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：A、a2+a3≠a5，计算错误，不符合题意；
B、a2•a3=a5≠a6，计算错误，不符合题意；
C、（a2）3=a6≠a5，计算错误，不符合题意；
D、（﹣3x2y）3=﹣27x6y3，计算正确，符合题意．
故选D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
8．（2016宜昌数学）JDF学校2015年春季学期组织一次校园文化知识竞赛，准备期间，拟从A，B，C，D四套卷中抽取两套题进行模拟训练，A卷恰好被抽中的概率是（ ）
A．
B． C．
D．以上都不对
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据题意先画出图形，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
∵一共有12种情况，A卷恰好被抽中的有4种情况，
∴A卷恰好被抽中的概率是
=
；
故选A．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2016宜昌数学）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边的中点，AC=6，BD=8，那么四边形EFGH的周长是（ ）
A．20 B．28
C．14 D．以上答案均有可能
【考点】LN：中点四边形．
【分析】直接利用三角形中位线定理得出EH
BD，FG
BD，HG
AC，EFAC，即可得出答案．
【解答】解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边的中点，
∴EHBD，FGBD，HG
AC，EF
AC，
∴四边形EFGH的周长是：（BD+BD+AC+AC）=×28=14．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中点四边形，正确把握三角形中位线的性质性质是解题关键．
10．（2016宜昌数学）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于点D，那么∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．40° D．60°
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=75°，在△BCD中可求得∠DBC=45°，可求出∠ABD．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣30°=45°，
故选D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
11．代数式
有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≠﹣2 C．x≥1且x≠﹣2 D．x≠1
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，且x+2≠0，
∴x≥1且x≠﹣2，
故选：C，
【点评】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，知道被开方数是非负数，分母不能为零是解题的关键．
12．（2016宜昌数学）如图，CD是圆O的直径，AC，BD是弦，C是弧AB的中点，且∠BDC=25°，则∠AOC的度数是（ ）
A．25° B．45° C．50° D．60°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOC=2∠CDB，进而可得答案．
【解答】解：∵C是弧AB的中点，
∴
=
，
∴∠AOC=2∠CDB，
∵∠BDC=25°，
∴∠AOC=50°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（2016宜昌数学）如图，在4×4的网格中，将△ABC绕B顺时针旋转90°得到△BDE，则A走过的路径的长是（ ）
A．π B．2π C．3π D．1.5π
【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．
【分析】由每个小正方形的边长都为1，可求得AB长，然后由弧长公式，求得答案．
【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴AB=4，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△BDE，
∴∠ABE=90°，
∴A点运动的路径
的长为：
=2π．
故选B．
【点评】此题考查了旋转的性质以及弧长公式的应用．注意确定半径与圆心角是解此题的关键．
14．（2016宜昌数学）如图，点M，N在数轴上表示的数分别是m，n，则（ ）
A．m+n＞0 B．m﹣n＞0 C．|m|＞|n| D．m2＜n2
【考点】13：数轴；15：绝对值．
【分析】根据M、N两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：M、N两点在数轴上的位置可知：﹣3＜m＜﹣2，1＜n＜2，
∵m+n＜O，故A错误；
∵m﹣n＜0，故B错误；
∵﹣3＜m＜﹣2，1＜n＜2，
∴|m|＞|n|，
故C正确；
∵﹣3＜m＜﹣2，1＜n＜2，
∴m2＞n2，
故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据M、N两点在数轴上的位置判断出其取值范围．
15．（2016宜昌数学）在同一坐标系下，y=ax2+bx和 y=﹣ax+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象．
【分析】根据二次函数的c值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．
【解答】解：∵y=ax2+bx（a≠0），c=0，
∴二次函数经过坐标原点；
A、B根据二次函数开口向上a＞0，对称轴x=﹣
＜0，
所以，b＞0，
∴﹣a＜0，b＞0，
∴一次函数经过第一、三、四象限，
∴A、B错误；
C、D根据二次函数开口向下a＜0，对称轴x=﹣＜0，
所以，b＞0，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴一次函数经过第一、二、三象限，
∴C错误，D正确；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．
二．（2016宜昌数学）解答题（共9小题，计75分）
16．计算：
．
【考点】6F：负整数指数幂；1G：有理数的混合运算．
【分析】根据有理数的混合运算，可得答案．
【解答】解：原式=﹣9﹣10×（﹣2）+16
=﹣9+20+16
=27．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．
17．先化简，
÷
，再选一个合适的a值代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】首先把分式的分子、分母分解因式，然后进行约分，再通分相加即可化简，最后代入能使分式有意义的a的值求解即可．
【解答】解：原式=
﹣
=
﹣
=
=
=
．
当a=2时，原式=
．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．
18．（2016宜昌数学）如图，在△ABC中，
（1）请你作出AC边上的高BD （尺规作图）；
（2）若AB=AC=8，BC=6，求BD．
【考点】N2：作图—基本作图；73：二次根式的性质与化简；KQ：勾股定理．
【分析】（1）过点B作AC的垂线，交AC于点D，则BD即为所求；
（2）设AD=x，则CD=8﹣x，在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD2=AB2﹣AD2=82﹣x2，在Rt△BCD中，根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2=62﹣（8﹣x）2，进而得到82﹣x2=62﹣（8﹣x）2，解得x的值，最后根据勾股定理即可求得BD．
【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；
（2）设AD=x，则CD=8﹣x，
∵BD⊥AC，
∴Rt△ABD中，BD2=AB2﹣AD2=82﹣x2，
Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2=62﹣（8﹣x）2，
∴82﹣x2=62﹣（8﹣x）2，
解得x=
，
∴Rt△ABD中，BD=
=
=
．
【点评】本题主要考查了基本作图和勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的方法．解题时注意方程思想的运用．
19．（2016宜昌数学）如图，已知反比例函数y=
与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，且点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣2．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A、B的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点A、B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于C，找出点C的坐标，利用三角形的面积公式结合A、B点的横坐标即可得出结论；
（3）观察函数图象，根据图象的上下关系即可找出不等式的解集．
【解答】解：（1）令反比例函数y=，x=2，则y=4，
∴点A的坐标为（2，4）；
反比例函数y=中y=﹣2，则﹣2=﹣
，解得：x=﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．
∵一次函数过A、B两点，
∴
，解得：
，
∴一次函数的解析式为y=x+2．
（2）设直线AB与y轴交于C，
令为y=x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴S△AOB=OC•（xA﹣xB）=×2×[4﹣（﹣2）]=6．
（3）观察函数图象发现：
当x＜﹣4或0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围为x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）找出点C的坐标；（3）根据函数图象的上下关系解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
20．（2016宜昌数学）某车站在春运期间为改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称购票用时，单位为分钟）．下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图．解答下列问题：
分 组 |
| 频数 | 频率 |
一组 | 0≤t＜5 | 0 | 0 |
二组 | 5≤t＜10 | 10 | 0.10 |
三组 | 10≤t＜15 | 10 | 0.10 |
四组 | 15≤t＜20 | 50 | 0.50 |
五组 | 20≤t＜25 | 30 | 0.30 |
合 计 | 100 | 1 | |
（1）这次抽样的样本容量是多少？
（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图：
（3）旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组？
（4）若每增加一个购票窗口可以使平均购票用时降低5分钟，要使平均购票用时不超过10分钟，那么请你估计最少需增加几个窗口？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V2：全面调查与抽样调查；V3：总体、个体、样本、样本容量；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据分布表即可直接求得总数，即样本容量；
（2）本题需先根据已知条件和样本容量，然后根据数据和频数与频率之间的关系即可把表补充完整．
（3）本题根据表中所给的频数和频率的数据，即可得出旅客购票用时的平均数落在哪一小组内．
（4）本题需先设出旅客购票用时的平均数为t小时，再根据所要求的条件列出式子，即可求出得数．
【解答】解：（1）样本容量是100．
（2）第5组的频数是：100﹣30﹣10﹣10=50；
第三组的频率是：10÷100=0.10；
分 组 |
| 频数 | 频率 |
一组 | 0≤t＜5 | 0 | 0 |
二组 | 5≤t＜10 | 10 | 0.10 |
三组 | 10≤t＜15 | 10 | 0.10 |
四组 | 15≤t＜20 | 50 | 0.50 |
五组 | 20≤t＜25 | 30 | 0.30 |
合 计 |
| 100 | 1 |
（3）设旅客购票用时的平均数为t小时，
旅客购票用时的平均数可能落在：
15≤t＜20；
∴旅客购票用时的平均数可能落在第4组．
（4）设需增加x个窗口．
则20﹣5x≤10．
∴x≥2，
∴至少需要增加2个窗口．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（2016宜昌数学）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠F=
，求AC的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）解：∵OA=OC，AD=DB，
∴OD=BC=3，
设AD=x，
∵tan∠F=，
∴FD=2x，则OA=OF=2x﹣3，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即（2x﹣3）2=32+x2，
解得，x=4，
则AD=4，AB=8，
∴AC=
=10．
【点评】（2016宜昌数学）此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．A市2000年时，有m万人，每年人均用水20吨，当年库存水量刚好供全市使用一年；到2010年时，A市有2000万人，每年人均用水36吨，原有库存水量不足，须从外地调水满足需要，已知外调供水管道数为a条．预计到2020年时，与2010年相比，A市人数下降10%，每年人均用水量下降
（1）预计2020年A市居民一年用水总量是多少万吨？
（2）若A市的库存水量保持不变，到2010年，库存水量和a条外调供水管道供水一年的水量，刚好让全市居民使用一年，到2020年，库存水量和a条外调供水管道供水半年的水量，刚好满足A市居民使用一年；如果库存水量从2010年起，每一个10年都比前一个10年按一个相同百分数n增加，这样2020年比2010年的外调水量将减少94%，求百分数n．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意可以分别求得2020年A市的人口数和用水总量，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）2020年A市有居民2000×（1﹣10%）=1800（万人），
2020年A市每年人均用水36×（1﹣）=30（吨），
∴2020年A市居民一年用水总量为1800×30=54000（万吨），
答：2020年A市居民一年用水总量是54000万吨；
（2）由题意可得，
2000年库存水量为：20m万吨，
设每条外调供水管道一年可以运送b吨水，
，
解得，n=27.8
答：百分数n的值是27.8．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
23．（2016宜昌数学）（10分）（2016•远安县模拟）如图，▱ABCD中，AB=8，∠DAB的平分线交边CD于E（点E不与A，D重合），过点E作AE的垂线交BC所在直线于点G，交AB所在直线于点F．
（1）当点G在CB的延长线上时（如图2），判断△BFG是什么三角形？说明理由．如果点G在B，C之间时此结论是否仍然成立？（不必说明理由）
（2）当点G在B，C之间时（如图1），求AD的范围；
（3）当2BG=BC时，求AD的长度．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）如图2，△BFG是等腰三角形，作平行线，构建菱形ADEH，证明AH=EH，所以∠EAH=∠AEH，再证明∠GFB=∠G，根据等角对等边得：BF=BG，所以△BFG是等腰三角形；
如图1，同理可得：△BFG是等腰三角形；
（2）由▱ABCD无限接近菱形，得AD＜8，点G与D点重合时，AD取最小值，由AD=AH=HB得出AD的取值范围；
（3）分两种情况：
①当G在边BC上时，如图1，根据2AD=AF=AB+BF列式计算可得AD的长；
②当G是边CB的延长线上时，如图2，根据AF=AB﹣BF列式可得AD的长
．
【解答】解：（1）如图2，△BFG是等腰三角形，理由是：
过E作EH∥AD，交AB于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴四边形ADEH是平行四边形，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAH，
∵DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAH，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∴▱ADEH是菱形，
∴AH=EH，
∴∠EAH=∠AEH，
∵AE⊥EG，
∴∠AEG=90°，
∴∠EAH+∠HFE=90°，∠AEH+∠HEF=90°，
∴∠HEF=∠HFE，
∵EH∥AD，AD∥BC，
∴EH∥BC，
∴∠HEF=∠G，
∵∠HFE=∠GFB，
∴∠GFB=∠G，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形；
如图1，结论仍然成立，理由是：
过E作EH∥AD，交AB于H，
同理得：∠HEF=∠HFE，
∵EH∥BC，
∴∠HEF=∠BGF，
∴∠HFE=∠BGF，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形；
（2）如图1，∵若点G无限接近C点时，E点也会无限接近C点，
∴▱ABCD无限接近菱形，
∴AD＜8，
又∵点G与D点重合时，AD取最小值，如图3，
过E作EH∥AD，交AB于H，
同理得：AD=AH=HB，
∴AD=AB=×8=4，
∵点G在B，C之间，
∴AD的范围：4＜AD＜8；
（3）当G在边BC上时，如图1，
∵BG=BF=BC，AF=2AD，
∴2AD=AF=AB+BF=8+BC=8+AD，
∴AD=
，
当G是边CB的延长线上时，如图2，
∵BG=
BC，AF=2AD，BF=BG，
∴AF=AB﹣BF=AB﹣BG，
2AD=8﹣AD，
AD=
，
综上所述，当2BG=BC时，AD的长度的长为或．
【点评】本题四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，难度适中，关键是能作出平行线，运用了类比的解题思路，使问题得以解决．
24．（12分）（2016宜昌数学）抛物线y=ax2和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（﹣2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．
（1）根据题意可求出a= ，点E的坐标是 （2，1） ．
（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；
（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征知，点A的坐标满足抛物线的解析式，所以把点A的坐标代入抛物线的解析式，即可求得a的值；由抛物线y=ax2的对称性知，点A、点E关于y轴对称；
（2）根据抛物线与直线的解析式求得点B的坐标为（4，4），则t的最小值是点E的横坐标，t的最大值是点B的横坐标；由于点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=
x2上，CD∥x轴，所以D（t， t2），C（
， t2）；最后由两点间的距离公式求得r=|（t﹣1）2﹣
|（2≤t≤4），所以根据二次函数最值的求法来求当r取最大值时t的值；
（3）①设D（t， t2）．由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标为（
t2﹣
，
t2）．然后根据两点间的距离公式知r=﹣（t﹣2k）2+k+，易知当t=2k时，r取最大值．
②根据一次函数y=kx+b中的k的几何意义知k=
=
，即m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，显然，当t=2k时，m取最大值．
【解答】解：（1）根据题意知，点A（﹣2，1）在抛物线y=ax2上，
∴1=（﹣2）2a，
解得，a=
．
∵抛物线y=ax2关于y轴对称，AE∥x轴，
∴点A、E关于y轴对称，
∴E（2，1）．
故答案是：，（2，1）．
（2）∵点A（﹣2，1）在直线y=kx+b（k为正常数）上，k=0.5，
∴1=﹣2×0.5+b，
解得，b=2，
即直线AB的解析式为y=
x+2．
∵由（1）知，抛物线的解析式y=x2，抛物线y=x2和直线y=x+2（k为正常数）交于点A和点B，
∴
，
解得，
或
，
∴它们的交点坐标是（﹣2，1），（4，4），即B（4，4）．
当点D与点E重合时，t=2．当点D与点B重合时，t=4，
∴t的取值范围是：2≤t≤4．
∵点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴，
∴D（t， t2），C（
， t2），
∴r=t﹣
=﹣（t﹣1）2+
（2≤t≤4）．
∵在2≤t≤4范围内，r随t的增大而减小，
∴当t=2时，r最大=4．即当t=2时，r取最大值．
（3）∵点A、B是直线与抛物线的交点，
∴kx+b=x2，即x2﹣4kx﹣4b=0，
∴xA+xB=4k．
∵xA=﹣2，
∴xB=4k+2．
又∵点D不与B、E重合，
∴2＜t＜4k+2．
设D（t， t2），则点C的纵坐标为t2，将其代入y=kx+b中，得x=
t2﹣
，
∴点C的坐标为（
t2﹣
， t2），
∴r=CD=t﹣（t2﹣）=﹣（t﹣2k）2+k+，
当t=2k时，r取最大值．
∴2＜2k＜4k+2，
解得，k＞1．
又∵k=
=
，
∴m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，
∴当t=2k时，m的值也最大．
综上所述，当r为最大值时m的值也是最大．
【点评】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点由待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，一次函数（二次函数）图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法等．求二次函数最值时，此题采用了“配方法”．