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2017年遵义中考数学试题
一、数学试题选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．
D．
2．2017年遵义市固定资产总投资计划为2580亿元，将2580亿元用科学记数法表示为（ ）
A．2.58×1011 B．2.58×1012 C．2.58×1013 D．2.58×1014
3．把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2a5﹣3a5=a5 B．a2•a3=a6 C．a7÷a5=a2 D．（a2b）3=a5b3
5．我市连续7天的最高气温为：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．28°，30° B．30°，28° C．31°，30° D．30°，30°
6．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
7．不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
9．关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m≤
B．m
C．m≤
D．m
10．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
12．如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．计算：
= ．
14．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为 ．
15．按一定规律排列的一列数依次为：
，1，
，
，
，
，…，按此规律，这列数中的第100个数是 ．
16．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有 两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
17．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
18．如图，点E，F在函数y=
的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
19．计算：|﹣2
|+（4﹣π）0﹣
+（﹣1）﹣2017．
20．化简分式：（
﹣
）÷
，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
21．学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．
（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是 ；
（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．
22．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．
（1）求主桥AB的长度；[来源:学科网]
（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
（长度均精确到1m，参考数据：
≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）
23．贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值，为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次参与调查的人数有 人；
（2）关注城市医疗信息的有 人，并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是 度；
（4）说一条你从统计图中获取的信息．
24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
25．为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放
辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
26．边长为2
的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=
BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
27．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=
x+
．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，
始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+
NB）的最小值．
2017年遵义中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．
D．
【考点】14：相反数．
【分析】依据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：B．
2．2017年遵义市固定资产总投资计划为2580亿元，将2580亿元用科学记数法表示为（ ）
A．2.58×1011 B．2.58×1012 C．2.58×1013 D．2.58×1014
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2580亿用科学记数法表示为：2.58×1011．
故选：A．
3．把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P9：剪纸问题．
【分析】解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案．
【解答】解：重新展开后得到的图形是C，
故选C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2a5﹣3a5=a5 B．a2•a3=a6 C．a7÷a5=a2 D．（a2b）3=a5b3
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方的计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=﹣a5，故本选项错误；
B、原式=a5，故本选项错误；
C、原式=a2，故本选项正确；
D、原式=a6b3，故本选项错误；
故选：C．
5．我市连续7天的最高气温为：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，这组数据的平均数和
众数分别是（ ）
A．28°，30° B．30°，28° C．31°，30° D．30°，30°
【考点】W5：众数；W1：算术平均数．
【分析】根据平均数和众数的定义及计算公式分别进行解答，即可求出答案．
【解答】解：数据28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°的平均数是（28+27+30+33+30+30+32）÷7=30，
30出现了3次，出现的次数最多，则众数是30；
故选D．
6．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
[来源:Z+xx+k.Com]
A．45° B．30° C．20° D
．15°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】
先根据平行线的性质，可得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠1=30°，
∴∠3=90°﹣30°=60°，
∵直尺的对边平行，
∴∠4=∠3=60°，
又∵∠4=∠2+∠5，∠5=45°，
∴∠2=60°﹣45°=15°，
故选：D．
7．不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【解答】解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
合并同类项得，﹣7x≥﹣14，
系数化为1得，x≤2．
故其非负整数解为：0，1，2，共3个．
故选B．
8．已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】首先根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，然后代入公式求得圆锥的侧面积即可．
【解答】解：∵圆锥的底面积为9πcm2，
∴圆锥的底面半径为3，
∵母线长为6cm，
∴侧面积为3×6π
=18πcm2，
故选A；
9．关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根
，则m的取值范围为（ ）
A．m≤
B．m
C．m≤
D．m
【考点】AA：根的判别式．
【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=32﹣4m＞0，
解得m＜
．
故选B．
10．如图，
△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【考点】KX：三角形中位线定理；K3：三角形的面积．
【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=
×△ABE的面积=
×△ABD的面积=
×△ABC的面积=
，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=
×△ABC的面积=
，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=
×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=
×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积是×3=
，
故选：A．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；
②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；
③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；
④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣
＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．
12．如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质即可得出
=
=
，结合E是BC中点，即可得出
=
，由EF∥AD即可得出
=
=
，进而可得出CF=CA=13，此题得解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，AB=11，AC=15，
∴
=
=
．
∵E是BC中点，
∴=
=．
∵EF∥AD，
∴
=
=
，
∴CF=CA=13．
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．计算： = 3
．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解： =2
+
=3．
故答案为：3．
14．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为 1800° ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】先利用多边形的外角和等于360度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算．
【解答】解：这个正多边形的边数为
=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
15．按一定规律排列的一列数依次为：
，1，
，
，
，
，…，按此规律，这列数中的第100个数是 
．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】根据按一定规律排列的一列数依次为：
，
，，，
，
，…，可得第n个数为
，据此可得第100个数．
【解答】解：按一定规律排列的一列数依次为：，
，，，，，…，
按此规律，第n个数为
，
∴当n=100时， =
，
即这列数中的第100个数是，
故答案为：．
16．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有 46 两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．
【解答】解：设有x人，依题意有
7x+4=9x﹣8，
解得x=6，
7x+4=42+4=46．
答：所分的银子共有46两．
故答案为：46．
17．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 
．
【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形．
【分析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=
OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=
，得出CD=2DE=即可．
【解答】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=
，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=
=
，
∴CD=2DE=
；
故答案为：．
18．如图，点E，F在函数y=
的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是 
．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，
），则F点的坐标为（3t，
），由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．
【解答】解：作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图所示：
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴
=
，即HF=3PE，
设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（3t，），
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，
而S△OFD=S△OEC=
×2=1，
∴S△OEF=S梯形ECDF=（
+
）（3t﹣t）=
；
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
19．计算：|﹣2
|+（4﹣π）0﹣
+（﹣1）﹣2017．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017
=2+1﹣2﹣1
=0
20．化简分式：（
﹣
）÷
，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．
【解答】解：
（﹣）÷
=[
﹣）÷
=（
﹣）÷
=
×
=x+2，
∵x2﹣4≠0，x﹣3≠0，
∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，
∴可取x=1代入，原式=3．
21．学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．
（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是 ；
（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）由甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，根据概率公式求解可得；
（2）根据题意画出树状图，由树状图得出一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，
∴小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，
∴小明恰好取到两个白粽子的概率为
=
．
22．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．
（1）求主桥AB的长度；
（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
（长度均精确到1m，参考数据：
≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）在Rt△ABP中，由AB=
可得答案；
（2）由∠ABP=30°、AP=97知PB=2PA=194，再证△PBD是等边三角形得DB=PB=194m，根据BC=
可得答案．
【解答】解：（1）由题意知∠ABP=30°、AP=97，
∴AB==
=
=97
≈168m，
答：主桥AB的长度约为168m；
（2）∵∠ABP=30°、AP=97，
∴PB=2PA=194，
又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°，
∴∠DBP=∠DPB=60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴DB=PB=194，
在Rt△BCD中，∵∠C=80°36′，
∴BC=
=
≈32，
答：引桥BC的长约为32m.
23．贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值，为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次参与调查的人数有 1000 人；
（2）关注城市医疗信息的有 150 人，并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是 144 度；
（4）说一条你从统计图中获取的信息．
【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．
【分析】（1）由C类别人数占总人数的20%即可得出答案；
（2）根据各类别人数之和等于总人数可得B类别的人数；
（3）用360°乘以D类别人数占总人数的比例可得答案；
（4）根据条形图或扇形图得出合理信息即可．
【解答】解：（1）本次参与调查的人数有200÷20%=1000（人），
故答案为：1000；
（2）关注城市医疗信息的有1000﹣=150人，补全条形统计图如下：
故答案为：150；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是360°×
=144°，
故答案为：144；
（4）由条形统计图可知，市民关注交通信息的人数最多．
24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
【考点】MC：切线的性质；LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=
∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；
（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四边形ACBP是菱形；
（2）连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD=
OA=，
∴PD=
，
∴PC=3，AB=
，
∴菱形ACBP的面积=AB•PC=
．
25．为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放
辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
【考点】B7：分式方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】问题1：设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，根据成本共计7500元，列方程求解即可；
问题2：根据两个街区共有15万人，列出分式方程进行求解并检验即可．
【解答】解：问题1
设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，依题意得
50x+50（x+10）=7500，
解得x=70，
∴x+10=80，
答：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；
问题2
由题可得，
×1000+
×1000=150000，
解得a=15，
经检验：a=15是所列方程的解，
故a的值为15．
26．边长为2
的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ=AP；[来源:.Com]
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=
BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△BCQ可得结论；
（2）如图1证明△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据CE=
BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆，
得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论．[来源:学科网]
如图4，当F在AD的延长线上时，同理可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°．
∴∠ABC=∠PBQ．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．
在△BAP和△BCQ中，
∵
，
∴△BAP≌△BCQ（SAS）．
∴CQ=AP；
（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=
∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，
∵DC=AD=2，
由勾股定理得：AC=
=4，
∵AP=x，
∴PC=4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=45°，
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，
∴∠CPQ=∠ABP，
∵∠BAC=∠ACB=45°，
∴△APB∽△CEP，
∴
，
∴
，
∴y=
x（4﹣x）=﹣
x（0＜x＜4），
由CE=
BC=
=
，
∴y=﹣
x=，
x2﹣4x=3=0，
（x﹣3）（x﹣1）=0，
x=3或1，
∴当x=3或1时，CE=
BC；
（3）解：结论：PF=EQ，理由是：
如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，
∵∠BPQ=45°，
∴∠GPB=45°，
∴∠GPB=∠PQB=45°，
∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，
∴△PGB≌△QEB，
∴EQ=PG，
∵∠BAD=90°，
∴F、A、G、P四点共圆，
连接FG，
∴∠FGP=∠FAP=45°，
∴△FPG是等腰直角三角形，
∴PF=PG，
∴PF=EQ．
当F在AD的延长线上时，如图4，同理可得：PF=PG=EQ．
27．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=
x+
．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，
始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+
NB）的最小值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据已知条件得到B（0，
），A（﹣6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=﹣
x2﹣
x+，于是得到C（1，0）；
（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m， m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=
ED，GM=OB=
，列方程即可得到结论；
（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到
=
，于是得到结论；
ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，
=，得到NP=NB，于是得到（NA+
NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：（1）在y=
x+
中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6，
∴B（0，），A（﹣6，0），
把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得
，
∴
，
∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣
x+，
令y=0，则=﹣x2﹣x+=0，
∴x1=﹣6，x2=1，
∴C（1，0）；
（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m， m+），当DE为底时，
作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=，
∴m+
（﹣m2﹣
m++m+）=，
解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），[来源:Z§xx§k.Com]
∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；
（3）i：存在，
∵ON=OM′=4，OB=，
∵∠NOP=∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，
=，
∴
不变，
即OP=
=3，
∴P（0，3）
ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，
=
，
∴NP=NB，
∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，
∴此时N，A，P三点共线，
∴（NA+NB）的最小值=
=3
．
