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2017锦州市七中九年级第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
2．下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对边平行
3．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3﹣5x2=x B．
+x2﹣1=0 C．ax2+bx+c=0 D．4x﹣1=0
4．（2017锦州数学）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．
x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
6．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2017锦州数学）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个相等的实数根，则k= ．
8．（x1，y1）和（x2，y2）是双曲线y=﹣
上两点，当x1＜x2＜0时，y1与y2的大小关系是 ．
9．如图所示，设A为反比例函数
图象上一点，且矩形ABOC的面积为3，则k= ．
10．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB= ．
11．（2017锦州数学）如图，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=
，∠DCF=30°，则EF长为 ．
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
三、（2017锦州数学）计算题：（每小题24分，共24分）
13．解方程
（1）（x﹣3）2=25（直开法）
（2）x2+3x+2=0（十字相乘法）
（3）x2﹣6x+8=0（配方法）
（4）x2﹣x﹣1=0（公式法）
四、（2017锦州数学）解答题（17小题12分，18小题14分，19小题14分，共40分）
14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？
15．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？
16．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若BC=2AE，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．（不需证明）
2017锦州数学参考答案与试题解析
一、（2017锦州数学）选择题（每小题3分，共18分）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k．
【解答】解：由题意知，
关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，
故4﹣2+k=0，
解得k=﹣2，
故选A．
2．（2017锦州数学）下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对边平行
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．
【解答】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选C．
3．（2017锦州数学）下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3﹣5x2=x B． +x2﹣1=0 C．ax2+bx+c=0 D．4x﹣1=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误；
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、方程未知数为1次，故错误；
故选A．
4．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【考点】中点四边形．
【分析】（2017锦州数学）作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=
AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选C．
5．（2017锦州数学）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）=4×7．
故选：B．
6．（2017锦州数学）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：389（1+x）2=438．
故选B．
二、（2017锦州数学）填空题（每小题3分，共18分）
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个相等的实数根，则k= 1 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由一元二次方程的定义可得出k≠0，根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程kx2﹣6x+9=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4×9k=36﹣36k=0，
解得：k=1．
故答案为：1．
8．（x1，y1）和（x2，y2）是双曲线y=﹣上两点，当x1＜x2＜0时，y1与y2的大小关系是 y1＜y2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数的系数为﹣5＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵﹣5＜0，
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
9．（2017锦州数学）如图所示，设A为反比例函数
图象上一点，且矩形ABOC的面积为3，则k= ﹣3 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限即可确定k的值．
【解答】解：由题意得：S=|k|=3，则k=±3；
又由于反比例函数图象位于二、四象限，k＜0，
则k=﹣3．
故答案为：﹣3．
10．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB= 5 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】（2017锦州数学）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=
AC，OB=BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
=5，
故答案为：5．
11．（2017锦州数学）如图，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF长为 2 ．
【考点】矩形的性质．
【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°﹣30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB=
，
∴CD=AB=，
∵∠DCF=30°，
∴CF=÷
=2，
∴EF=2．
故答案为：2．
12．（2017锦州数学）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 
．
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．
【分析】（2017锦州数学）根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的
，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB，
∴S△ADC=S△ABC=S矩形ABCD=×20=10，
∴S△AOB=S△BCO=S△ABC=×10=5，
∴S
=S△AOB=×5=
，
∴S
=S=
，
S
=S=
，
S
=S=
，
∴S
=2S=2×
=
故答案为：．
三、（2017锦州数学）计算题：（每小题24分，共24分）
13．解方程
（1）（x﹣3）2=25（直开法）
（2）x2+3x+2=0（十字相乘法）
（3）x2﹣6x+8=0（配方法）
（4）x2﹣x﹣1=0（公式法）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【分析】（1）直接利用开平方法解方程得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（3）直接利用配方法解方程得出答案；
（4）直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】解：（1）（x﹣3）2=25（直开法）
x﹣3=±5，
解得：x1=8，x2=﹣2；
（2）x2+3x+2=0（十字相乘法）
（x+1）（x+2）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣2；
（3）x2﹣6x+8=0（配方法）
（x﹣3）2=1，
则x﹣3=±1，
解得：x1=2，x2=4；
（4）x2﹣x﹣1=0（公式法）
b2﹣4ac=1+4=5，
则x=
，
解得：x1=
，x2=
．
四、（2017锦州数学）解答题（17小题12分，18小题14分，19小题14分，共40分）
14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】把修筑的三条道路分别平移到矩形的最左边和最上边，则剩余的耕地也是一个矩形，设道路的宽为x米，根据矩形面积公式列方程，然后求出解．
【解答】解：设道路的宽为x米，
依题意得（32﹣2x）（20﹣x）=570，
解得x1=1 x2=35（不符合题意舍去）．
答：道路的宽为1米．
15．（2017锦州数学）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．
【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（10+x）=6000，
解得：x=5或x=10，
要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；
答：每千克应涨价5元．
16．（2017锦州数学）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若BC=2AE，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．（不需证明）
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据平行线的性质，可以利用AAS或ASA判断．
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
（3）结论：当△ABC为等腰三角形时，即AB=AC时，四边形ABFC为正方形；根据邻边相等的矩形是正方形即可证明．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴BE=EC，AE=EF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∵AE=BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
（3）当△ABC为等腰三角形时，即AB=AC时，四边形ABFC为正方形；
理由如下：
由（2）可知四边形ABFC是矩形，
∵AB=AC，
∴四边形ABFC为正方形（邻边相等的矩形是正方形）．
故答案为：AB=AC．
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