2016-2017学年潮州市五校联考九年级数学试题【精编解析版】

2016-2017学年潮州市五校联考九年级数学试题【精编解析版】

由于版式的问题，试题可能会出现乱码的现象，为了方便您的阅读请点击全屏查看一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1．在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，负数是（）

A．0              B．2              C．（﹣3）0              D．﹣5

2．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A．              B．              C．              D．

3．若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值为（）

A．﹣1              B．1              C．2              D．3

4．我国南海海域面积为3 500 000km2，用科学记数法表示正确的是（）

A．3.5×106km2              B．3.5×107km2              C．3.5×108km2              D．3.5×109km2

5．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）

A．              B．              C．              D．

6．某小组5名同学在一周内参加体育锻炼的时间如下表所示，关于“锻炼时间”的这组数据，以下说法正确的是（）

A．中位数是4，平均数是3.5              B．众数是4，平均数是3.5

C．中位数是4，众数是4              D．众数是5，平均数是3.6

7．若分式的值为零，则x的值为（）

A．0              B．2              C．﹣2              D．±2

8．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）

A．4cm              B．3cm              C．2cm              D．1cm

9．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）

A．9              B．12              C．15              D．18

10．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动路程为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）

A．              B．              C．              D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．若实数a、b满足|a+2|+=0，则=．

12．分解因式：ax2﹣9ay2=．

13．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．

14．如图所示，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上．若∠1=25°，则∠2的度数为．

15．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为．

16．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共18分）

17．计算：0+（﹣）﹣1+3tan30°+|1﹣|．

18．先化简，再求值：÷+，其中x=．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

19．如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD

（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；

（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．

21．某市一中学举行了“中国梦•校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）C等级对应扇形的圆心角为度；

（2）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人参加市演讲比赛，请利用列表法或树形图法求获A等级的小明参加市演讲比赛的概率．（假设小明用A1表示，其他三人分别用A2、A3、A4表示）

22．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元．

（1）求购进A、B两种树苗的单价；

（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？

23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出x的取值范围；

（3）求△AOB的面积．

24．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

25．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；

（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．

2016-2017学年潮州市五校联考九年级数学试题参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1．在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，负数是（）

A．0              B．2              C．（﹣3）0              D．﹣5

【分析】根据小于0的数是负数，可得负数的个数．

【解答】解：（﹣3）0=1，﹣2＜0，

∴在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，负数是﹣5，

故选：D．

【点评】本题考查了正数和负数，小于0的数是负数，注意带负号的数不一定是负数．

2．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A．              B．              C．              D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值为（）

A．﹣1              B．1              C．2              D．3

【分析】把（m﹣n）看作一个整体并直接代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：∵m﹣n=﹣1，

∴（m﹣n）2﹣2m+2n=（m﹣n）2﹣2（m﹣n），

=（﹣1）2﹣2×（﹣1），

=1+2，

=3．

故选D．

【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

4．我国南海海域面积为3 500 000km2，用科学记数法表示正确的是（）

A．3.5×106km2              B．3.5×107km2              C．3.5×108km2              D．3.5×109km2

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于3 500 000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

【解答】解：3 500 000=3.5×106．

故选A．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

5．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）

A．              B．              C．              D．

【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．

【解答】解：所给图形的俯视图是两排正方形，第一排3个，第二排2个．

故选A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意掌握：俯视图是从物体上面看所得到的图形．

6．某小组5名同学在一周内参加体育锻炼的时间如下表所示，关于“锻炼时间”的这组数据，以下说法正确的是（）

A．中位数是4，平均数是3.5              B．众数是4，平均数是3.5

C．中位数是4，众数是4              D．众数是5，平均数是3.6

【分析】根据中位数、平均数与众数的概念分别求解即可．

【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4；

按从小到大的顺序排序为2，3，4，4，5，第三个数为4，所以中位数为4；

平均数为（2+3+4+4+5）÷5=3.6．

故选C．

【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的定义，解答本题的关键是掌握概念．

7．若分式的值为零，则x的值为（）

A．0              B．2              C．﹣2              D．±2

【分析】根据分式为0的条件是：分子为0、分母不为0计算即可．

【解答】解：由题意得，

x2﹣4=0，x=±2，

x+2≠0，x≠﹣2，

∴x=2，

故选：B．

【点评】本题考查的是分式为0的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

8．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）

A．4cm              B．3cm              C．2cm              D．1cm

【分析】本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长： =4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．

【解答】解：弧长： =4π，

圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．

故选：C．

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

9．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）

A．9              B．12              C．15              D．18

【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．

【解答】解：如图所示，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴S△DEF：S△BCF=（）2，

又∵E是AD中点，

∴DE=AD=BC，

∴DE：BC=DF：BF=1：2，

∴S△DEF：S△BCF=1：4，

∴S△BCF=4，

又∵DF：BF=1：2，

∴S△DCF=2，

∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．

故选B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF的面积．

10．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动路程为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）

A．              B．              C．              D．

【分析】分三段求解：①当P在AB上运动时；②当P在BC上时；③当P在CO上时；分别求出S关于t的函数关系式即可选出答案．

【解答】解：∵A（4，0）、C（0，4），

∴OA=AB=BC=OC=4，

①当P由点A向点B运动，即0≤t≤4，S=OA•AP=2t；

②当P由点A向点B运动，即4＜t≤8，S=OA•AP=8；

③当P由点A向点B运动，即8＜t≤12，S=OA•AP=2（12﹣t）=﹣2t+24；

结合图象可知，符合题意的是A．

故选：A．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出S关于t的函数关系式．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．若实数a、b满足|a+2|+=0，则=　﹣1　．

【分析】根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式求出a、b的值，计算即可．

【解答】解：根据题意得a+2=0，且b+4=0，

解得a=﹣2，b=﹣4．

则原式==﹣1．

故答案是：﹣1．

【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键

12．分解因式：ax2﹣9ay2=　a（x+3y）（x﹣3y）　．

【分析】首先提公因式a，然后利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=a（x2﹣9y2）=a（x+3y）（x﹣3y）．

故答案是：a（x+3y）（x﹣3y）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

13．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是　十一　．

【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，外角和是360度，因而内角和是1620度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．

【解答】解：根据题意，得

（n﹣2）•180﹣360=1260，

解得：n=11．

那么这个多边形是十一边形．

故答案为十一．

【点评】本题主要考查了对于多边形内角和公式的记忆与运用以及多边形的外角和为360°，比较简单．

14．如图所示，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上．若∠1=25°，则∠2的度数为　20°　．

【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．

【解答】解：如图，过点B作BD∥l．

∵直线l∥m，

∴BD∥l∥m，

∴∠4=∠1=25°，

∵∠ABC=45°，

∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°，

∴∠2=∠3=20°．

故答案为：20°．

【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．

15．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为　45°　．

【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC=90°，再根据折叠可得∠1=∠2=∠ABD，∠3=∠4=∠DBC，进而可得∠2+∠3=45°，即∠EBF=45°．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

根据折叠可得∠1=∠2=∠ABD，∠3=∠4=∠DBC，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EBF=45°，

故答案为：45°．

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．

16．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为　　．

【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值．

【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

∴△AOC∽△OBD，

∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，

∴S△AOC=1，S△OBD=4，

∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，

则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．

故答案为：

【点评】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共18分）

17．计算：0+（﹣）﹣1+3tan30°+|1﹣|．

【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1﹣2++﹣1=2﹣2．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．先化简，再求值：÷+，其中x=．

【分析】先把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行同分母的加法运算，再把x的值代入计算即可．

【解答】解：原式=•+

=+

=，

当x=时，原式==．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

19．如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD

（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．

【分析】（1）根据尺规作图的基本作图平分一只角的方法，就可以作出射线CP；

（2）由CP平分∠ACB可以得出∠ACE=∠BCE，就可以由SAS证明△CDE≌△CBE，就可以得出结论．

【解答】（1）解：如图1，射线CP为所求作的图形．

（2）证明：∵CP是∠ACB的平分线

∴∠DCE=∠BCE．

在△CDE和△CBE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴BE=DE．

【点评】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；

（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．

【分析】（1）根据网格特点，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，观察可知点B所经过的路线是半径为，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

点B旋转到点B2所经过的路径长为： =π．

故点B旋转到点B2所经过的路径长是π．

【点评】本题综合考查了利用对称变换作图，利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键．

21．某市一中学举行了“中国梦•校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）C等级对应扇形的圆心角为　144　度；

（2）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人参加市演讲比赛，请利用列表法或树形图法求获A等级的小明参加市演讲比赛的概率．（假设小明用A1表示，其他三人分别用A2、A3、A4表示）

【分析】（1）先利用D等级的人数除以它占的百分比得到调查的总人数，然后用360°乘以C等级所占的百分比即可得到C等级对应扇形的圆心角的度数；

（2）A等级的人数为4人，假设小明用A表示，其他三人分别用B、C、D表示，利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出小明参加市演讲比赛的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）12÷30%=40，即调查的总人数为40人，

所以C等级对应扇形的圆心角=360°×=144°，

故答案为144；

（2）A等级的人数为4人，假设小明用A表示，其他三人分别用B、C、D表示，

画树状图为：

共有12种等可能的结果数，小明参加市演讲比赛的结果数为6，

所以小明参加市演讲比赛的概率==．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．

22．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元．

（1）求购进A、B两种树苗的单价；

（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？

【分析】（1）设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式解答即可．

【解答】解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元，可得：，

解得：，

答：B树苗的单价为300元，A树苗的单价为200元；

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，

可得：200a+300（30﹣a）≤8000，

解得：a≥10，

答：A种树苗至少需购进10棵．

【点评】本题考查了方程组的应用，一元一次不等式组应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．

23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出x的取值范围；

（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）首先根据A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求出m，n的值各是多少；然后求出一次函数的解析式，再根据一元二次不等式的求法，求出x的取值范围即可．

（2）由﹣2x+8﹣＜0，求出x的取值范围即可．

（3）首先分别求出C点、D点的坐标的坐标各是多少；然后根据三角形的面积的求法，求出△AOB的面积是多少即可．

【解答】解：（1）∵A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴，

解得m=1，n=2，

∴A（1，6），B（3，2），

∵A（1，6），B（3，2）在一次函数y=kx+b的图象上，

∴，

解得，

∴y=﹣2x+8．

（2）由﹣2x+8﹣＜0，

解得0＜x＜1或x＞3．

（3）当x=0时，

y=﹣2×0+8=8，

∴C点的坐标是（0，8）；

当y=0时，

0=﹣2x+8，

解得x=4，

∴D点的坐标是（4，0）；

∴S△AOB=×4×8﹣×8×1﹣×4×2=16﹣4﹣4=8．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．

24．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；

（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．

【解答】（1）证明：连接CD，

∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即点D是AB的中点．

（2）解：DE是⊙O的切线．

证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA=，

∵cosB=，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA=，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE=．

【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．

25．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；

（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．

【分析】（1）根据直线y=x+4求点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数的表达式；

（2）由PQ∥AO可知，P、Q关于对称轴x=﹣1对称，由PQ=2AO=8，可得点P、Q两点的横坐标，代入抛物线的解析式中可得两点的坐标；

（3））因为∠MCO=∠CAB=45°，所以△ABC与△COM相似，分两种情况：

①当△MCO∽△CAB时，如图1，列比例式可求得CM的长，从而得出M的坐标；

②当△OCM∽△CAB时，如图2，列比例式可求得CM的长，从而得出M的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），

当y=0时，x=﹣4，即A（﹣4，0），

将A、C两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：

，解得：，

∴抛物线的表达式为：y=﹣x2﹣x+4；

（2）由题意得：PQ=2AO=8，

又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，

∴PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，

当x=﹣5时，y=+4=﹣，即P（﹣5，﹣），

﹣1+4=3，即Q（3，﹣），

∴P的坐标为（﹣5，﹣），Q的坐标为（3，﹣）；

（3）∵A（﹣4，0），对称轴是：x=﹣1，

∴B（2，0），

∴AB=2+4=6，

∵∠MCO=∠CAB=45°，

由勾股定理得：AC==4，BC==2，

①当△MCO∽△CAB时，如图1，

∴=，即，

∴CM=，

过M作MH⊥y轴于H，

∴MH=CH==，

当x=﹣时，y=﹣+4=，

∴M（﹣，），

②当△OCM∽△CAB时，如图2，

，即=，

∴CM=3，

过M作MH⊥y轴于H，

MH=CH==3，

当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，

∴M（﹣3，1），

综上所述，点M的坐标是：（﹣，）或（﹣3，1）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的轴对称性、三角形相似的性质和判定，难度适中，采用了分类讨论的思想，利用已知的相似列比例式，并与一次函数相结合，求出点M的坐标，使问题得以解决．

2017年6月2日