2018年常德中考数学冲刺试题word版（含解析）

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2018年常德中考数学冲刺试题

一、选择题

1．在实数，，0，，，﹣1.414中，无理数有（　　）

A．1个              B．2个              C．3个              D．4个

2．下列运算正确的是（　　）

A．2x2+3x2=5x4              B．2x2﹣3x2=﹣1

C．2x2•3x2=6x4              D．

3．已知==2，求分式的值是（　　）

A．1              B．2              C．2b+3d              D．无法确定

4．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）

A．120°              B．90°              C．60°              D．30°

5．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（　　）

A．              B．              C．              D．

6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的结论的个数（　　）

①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＜0；④b=2a； ⑤b＞0．

A．5个              B．4个              C．3个              D．2个

7．下列说法正确的是（　　）

A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点

B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖

C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨

D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

8．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（　　）

A．              B．4              C．              D．4

二、填空题

9．实数a，b在数轴上对应的位置如图．化简：|b﹣a|+=　　　　　　．

10．若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值应为　　　　　　．

11．底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是　　　　　　．

12．方程x2﹣2ax+3=0有一个根x1=1，则另一个根x2=　　　　　　．

13．若a、b、c三个数的平均数为4，则a﹣1，b﹣5，c+3的平均数是　　　　　　．

14．已知菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，则菱形的边长是　　　　　　cm．

15．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是　　　　　　度．

16．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干图案：

（1）第4个图案有白色地面砖　　　　　　块；

（2）第n个图案有白色地面砖　　　　　　块．

三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分）

17．解方程： =1﹣．

18．如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的全面积．（结果保留3个有效数字）

四、解答题（本题共2小题，每小题6分，共12分）

19．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

20．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．

五、解答题（本题共2小题，每小题7分，共14分）

21．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）

22．我市民营经济持续发展，2013年城镇民营企业就业人数突破20万．为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工2013年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．

由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的员工有　　　　　　人，在扇形统计图中x的值为　　　　　　，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是　　　　　　；

（2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？

（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？

六、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

23．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．

求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC2=AB•AD．

24．抗战救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库，已知甲库有粮食80吨，乙库有粮食100吨，而A库的容量为110吨，B库的容量为70吨．从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

（1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；

（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

七、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）

25．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：△BCE∽△BOD；

（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时．△BDP的面枳等于△BOE的面积？

26．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为　　　　　　，点D的坐标为　　　　　　（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

2018年常德中考数学冲刺试题参考答案

一、选择题

1．在实数，，0，，，﹣1.414中，无理数有（　　）

A．1个              B．2个              C．3个              D．4个

【考点】无理数．

【分析】根据无理数的三种形式求解．

【解答】解： =6，

无理数有：，，共2个．

故选B．

【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．

2．下列运算正确的是（　　）

A．2x2+3x2=5x4              B．2x2﹣3x2=﹣1

C．2x2•3x2=6x4              D．

【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．

【分析】根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、2x2+3x2=5x2，故本选项错误；

B、2x2﹣3x2=﹣x2，故本选项错误；

C、2x2•3x2=6x4，故本选项正确；

D、2x2÷3x2=，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．

3．已知==2，求分式的值是（　　）

A．1              B．2              C．2b+3d              D．无法确定

【考点】分式的值．

【分析】根据等比的性质，a=2b，c=2d，根据分式的性质，可得答案．

【解答】解； ==2，

a=2b，c=2d，

==2，

【点评】本题考查了分式的值，根据等比的性质得出a=2b，c=2d是解题关键．

4．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）

A．120°              B．90°              C．60°              D．30°

【考点】旋转的性质．

【专题】计算题．

【分析】利用旋转的性质计算．

【解答】解：∵∠ABC=60°，

∴旋转角∠CBC1=180°﹣60°=120°．

∴这个旋转角度等于120°．

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键．

5．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．

【专题】数形结合．

【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．

【解答】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；

B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，故B选项错误；

C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故C选项错误；

D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．

故选：A．

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的结论的个数（　　）

①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＜0；④b=2a； ⑤b＞0．

A．5个              B．4个              C．3个              D．2个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据图象的开口可确定a．再结合对称轴，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，进行一一分析，即可解答．

【解答】解：当x=1时，y=a+b+c，顶点坐标（1，a+b+c），

由图象可知，顶点坐标在第一象限，

∴a+b+c＞0，故①正确；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c，

由图象可知，当x=﹣1时，所对应的点在第四象限，

∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；

∵图象开口向下，

∴a＜0，

∵x=﹣=1，

∴b=﹣2a，故④错误；

∴b＞0，故⑤正确；

∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，故③正确；

∴正确的有4个．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．

7．下列说法正确的是（　　）

A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点

B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖

C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨

D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

【考点】概率的意义．

【专题】压轴题．

【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．

【解答】解：A、是随机事件，错误；

B、中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，错误；

C、明天下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；

D、正确．

故选D．

【点评】正确理解概率的含义是解决本题的关键．注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不等．

8．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（　　）

A．              B．4              C．              D．4

【考点】解直角三角形．

【分析】作AE⊥BC于E点，DF⊥BC于F点，则有AE=DF，sinB=sin45°==，由此可以求出DF、AE；

又sin∠DCF=sin60°=，由此求出CD．

【解答】解：如图，分别作AE⊥BC于E点，DF⊥BC于F点．

则有AE=DF，sinB=sin45°==，

∴DF=AE=AB=4．

又∵sin∠DCF=sin60°==，

∴CD===．

故选A．

【点评】此题主要考查通过作辅助线综合利用解直角三角形、直角三角形性质等知识解决问题，同时也考查学生逻辑推理能力和运算能力．

二、填空题

9．实数a，b在数轴上对应的位置如图．化简：|b﹣a|+=　2a﹣2b　．

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．

【分析】根据图示，可得a、b的关系，根据a、b的关系，可得答案．

【解答】解：|b﹣a|+=a﹣b+a﹣b=2a﹣2b，

故答案为；2a﹣2b．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值是大数减小数．

10．若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值应为　±6　．

【考点】完全平方式．

【专题】计算题．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．

【解答】解：∵多项式x2+kx+9是一个完全平方式，

∴k=±6．

故答案为：±6

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

11．底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是　a2　．

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．

【分析】作出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC=2BD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=AB，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等腰三角形，

∴BC=2BD，

∵底角∠B=30°，

∴AD=AB=a，

由勾股定理得，BD==a，

∴BC=2BD=a，

∴三角形的面积=×a×a=a2．

故答案为a2．

【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

12．方程x2﹣2ax+3=0有一个根x1=1，则另一个根x2=　3　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到1•x2=3，易得x2的值．

【解答】解：根据根与系数的关系可得x1•x2=1•x2=3，

解得x2=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是方程x2+px+q=0的两根，则x1+x2=﹣p，x1x2=q．

13．若a、b、c三个数的平均数为4，则a﹣1，b﹣5，c+3的平均数是　3　．

【考点】算术平均数．

【分析】根据a、b、c三个数的平均数为4，得出a+b+c，再把a﹣1，b﹣5，c+3加起来除以3，即可得出答案．

【解答】解：∵a、b、c三个数的平均数为4，

∴a+b+c=12，

∴a﹣1，b﹣5，c+3的平均数是（a﹣1+b﹣5+c+3）÷3=（a+b+c﹣3）÷3=（12﹣3）÷3=3；

故答案为：3．

【点评】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．

14．已知菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，则菱形的边长是　10　cm．

【考点】菱形的性质．

【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．

【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，

∴OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，AC⊥BD，

∴AB==10（cm）．

即菱形的边长是10cm．

故答案为：10．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．

15．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是　60　度．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．

【解答】解：∵等边△ABC，

∴∠ABD=∠C，AB=BC，

在△ABD与△BCE中，，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBC=60°，

∴∠ABE+∠BAD=60°，

∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，

∴∠APE=60°．

故答案为：60．

【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．

16．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干图案：

（1）第4个图案有白色地面砖　18　块；

（2）第n个图案有白色地面砖　（4n+2）　块．

【考点】规律型：图形的变化类．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】由已知图形可以发现：前三个图形中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以可以发现每一个图形都比它前一个图形多4个白色地砖，所以可以得到第n个图案有白色地面砖（4n+2）块．

【解答】解：第1个图有白色块4+2，第2图有4×2+2，第3个图有4×3+2，

所以第4个图应该有4×4+2=18块，

第n个图应该有（4n+2）块．

【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．

三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分）

17．解方程： =1﹣．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2（x+2）=x2﹣4+4x，

去括号得：2x+4=x2+4x﹣4，

整理得：x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，

解得：x=2或x=﹣4，

经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣4．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

18．如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的全面积．（结果保留3个有效数字）

【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．

【分析】首先根据三视图确定圆锥的高和底面半径，然后求得母线长，然后代入圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：由三视图知：圆锥的高为2cm，底面半径为2cm，

∴圆锥的母线长为4，

∴圆锥表面积=π×22+π×2×4=12π≈37.7．

【点评】本题考查圆锥全面积公式的运用，掌握公式是关键．

四、解答题（本题共2小题，每小题6分，共12分）

19．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．

【专题】压轴题；分类讨论．

【分析】（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；

（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．

【解答】（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，

在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠B′EF=∠BFE，

∴∠B′FE=∠B'EF，

∴B′F=B′E，

∴B′E=BF；

（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：

（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．

证明：连接BE，

由（1）知B′E=BF=c，

∵B′E=BE，

∴四边形BEB′F是平行四边形，

∴BE=c．

在△ABE中，∠A=90°，

∴AE2+AB2=BE2，

∵AE=a，AB=b，

∴a2+b2=c2；

（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．

证明：连接BE，则BE=B′E．

由（1）知B′E=BF=c，

∴BE=c，

在△ABE中，AE+AB＞BE，

∴a+b＞c．

【点评】此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．

第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；

第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；

第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．

20．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】先设常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，那么把2012年的烟花爆竹销售量看做单位1，在此基础上可求2013年的年销售量，以此类推可求2014年的年销售量，而2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱，据此可列方程，解即可．

【解答】解：设常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得

20（1﹣x）2=9.8，

解这个方程，得x1=0.3，x2=1.7，

由于x2=1.7不符合题意，即x=0.3=30%．

答：常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

五、解答题（本题共2小题，每小题7分，共14分）

21．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】应用题．

【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF﹣BF即可得出答案．

【解答】解：依题意可得：∠EAB=30°，∠ACE=15°，

又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE

∴∠CAE=15°，

即△ACE为等腰三角形，

∴AE=CE=100m，

在Rt△AEF中，∠AEF=60°，

∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50m，

在Rt△BEF中，∠BEF=30°，

∴BF=EFtan30°=50×=m，

∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）．

答：塔高AB大约为58米．

【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．

22．我市民营经济持续发展，2013年城镇民营企业就业人数突破20万．为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工2013年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．

由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的员工有　500　人，在扇形统计图中x的值为　14　，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是　21.6°　；

（2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？

（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．

【专题】图表型．

【分析】（1）用B的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查的员工总人数，求出B所占的百分比得到x的值，再求出A所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解；

（2）求出C的人数，然后补全统计图即可，再用总人数乘以B所占的百分比计算即可得解；

（3）根据众数为2000元～4000元判断不合理．

【解答】解：（1）本次抽样调查的员工人数是： =500（人），

D所占的百分比是：×100%=14%，

则在扇形统计图中x的值为14；

“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是360°×=21.6°；

故答案为：500，14，21.6°；

（2）C的人数为：500×20%=100，

补全统计图如图所示，

“2000元～4000元”的约为：20万×60%=12万；

（3）用平均数反映月收入情况不合理．由数据可以看出500名被调查者中有330人的月收入不超过4000元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

六、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

23．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．

求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC2=AB•AD．

【考点】圆周角定理；角平分线的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）要证明AB是直径，只需连接BC，证明∠ACB=90°，根据弦切角定理和角平分线的定义发现三角形ABC和三角形ACD中的两个角对应相等，即可得到第三个角对应相等；

（2）根据（1）中的过程，显然发现两个三角形相似，根据相似三角形的对应边的比相等证明结论．

【解答】证明：（1）连接BC，

AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠CAB．

又CD切⊙O于点C，

∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．

∵AD⊥CD，

∴∠ACD+∠DAC=90°．

即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．

∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，

∴△ACD∽△ABC．

∴．

∴AC2=AB•AD．

【点评】熟练运用弦切角定理和相似三角形的性质和判定．

24．抗战救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库，已知甲库有粮食80吨，乙库有粮食100吨，而A库的容量为110吨，B库的容量为70吨．从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

（1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；

（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）设甲库运往A库粮食x吨，则甲仓库运往B库粮食（80﹣x）吨，乙仓库运往A库（110﹣x）吨，乙仓库运往B库（x﹣10）吨，根据总运费=运往A、B两仓库的费用之和就可以求出结论；

（2）由（1）的解析式根据一次函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：（1）由题意，得

y=20×13x+25×10（80﹣x）+15×12×（110﹣x）+20×8×（x﹣10），

y=﹣10x+38200．

答：y与x之间的关系式为y=﹣10x+38200；

（2）由题意，得

，

解得：10≤x≤80．

∵y=﹣10x+38200．

∴k=﹣10＜0，

∴当x=80时．y最小=37400．

∴甲库运往A库粮食80吨，则甲仓库运往B库粮食0吨，乙仓库运往A库30吨，乙仓库运往B库70吨，总运费最省，最省的总运费是37400元．

【点评】本题考查了列一次函数解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

七、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）

25．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：△BCE∽△BOD；

（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时．△BDP的面枳等于△BOE的面积？

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）在抛物线y=ax2﹣2x+c中，已知对称轴x=﹣=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．

（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．

（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．

【解答】解：（1）抛物线y=ax2﹣2x+c中，对称轴x=﹣=﹣=1，∴a=1；

将点A（﹣1，0）代入y=ax2﹣2x+c中，得：1+2+c=0，c=﹣3；

∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），

∴点C（0，﹣3）、B（3，0）、E（1，﹣4）；

易知点D（0，1），则有：

OD=1、OB=3、BD=；

CE=、BC=3、BE=2；

∴，

∴△BCE∽△BOD．

（3）S△BOE=×BO×|yE|=×3×4=6；

∴S△BDP=×BD×h=S△BOE=6，即 h=．

在y轴上取点M，过点M作MN1⊥BD于N1，使得MN1=h=；

在Rt△MN1D中，sin∠MDN1=，且 MN1=；则 MD==4；

∴点M（0，﹣3）或（0，5）．

过点M作直线l∥MN2，如右图，则 直线l：y=﹣x﹣3或y=﹣x+5，联立抛物线的解析式有：

或，

解得：、、，

∴当点P的坐标为（0，﹣3）、、时，△BDP的面积等于△BOE的面积．

【点评】该题考查的是涉及到抛物线解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法等重点知识；最后一题中，由于BD不与x轴、y轴垂直，给解答带来了难度，但通过将BD边上的高进行适当转化，得出过点P且与BD平行的直线l的解析式是突破题目的关键．

26．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为　45°　，点D的坐标为　（t，t）　（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

【考点】四边形综合题；解一元一次方程；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．

（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．

（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．

【解答】解：（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴AP=QD，BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴点D坐标为（t，t）．

故答案为：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，

由△PAB≌△DQP得PB=PD，

显然PB≠PE，

∴这种情况应舍去．

②若EB=EP，

则∠PBE=∠BPE=45°．

∴∠BEP=90°．

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB（AAS）．

∴OE=CB=OC．

∴点E与点C重合（EC=0）．

∴点P与点O重合（PO=0）．

∵点B（﹣4，4），

∴AO=CO=4．

此时t=AP=AO=4．

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．

∴AP=CE．

∵AP=t，

∴CE=t．

∴PO=EO=4﹣t．

∵∠POE=90°，

∴PE=

=（4﹣t）．

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP．

∴EP=t+t=2t．

∴（4﹣t）=2t．

解得：t=4﹣4

∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．

（3）∵EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8．

∴△POE周长是定值，该定值为8．

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．