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2018廊坊市中考数学模拟试题
一、选择题（共16小题，每小题3分，满分48分）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．x2﹣2=0 D．3x+
=4
3．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1．﹣2） B．（﹣1．﹣2 ） C．（1.2） D．（﹣1.2）
4．一元二次方程x（x+5）=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=5 B．x1=0，x2=﹣5 C．x1=0，x2=
D．x1=0，x2=﹣
5．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=﹣1
6．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（廊坊中考数学）矩形的对角线相交于点 O，过点O 的直线交AD，BC 于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．2
8．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣4，﹣5 B．3，﹣4，5 C．3，4，5 D．3，4，﹣5
9．如图，把4张扑克牌放在桌上，然后把其中三张扑克牌绕自身中心旋转180°后，得到下列图示．你知道哪一张扑克牌没被旋转过吗？（ ）
A．
B．
C．
D．
10．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜1
11．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3
12．在平面直角坐标系中，点A（2016，2017）关于原点O对称的点A′的坐标为（ ）
A．（﹣2016，2017） B．（2016，﹣2017） C．（2016，2017） D．（﹣2016，﹣2017）
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图示，下列结论：
①2a+b=0；
②a+c＞b；
③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；
④abc＞0
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④
14．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣4
15．由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为x=﹣3
C．其最大值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而减小
16．（廊坊中考数学）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （只填序号）．
18．如图，给一幅长8m，宽5m的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为70m2，则根据题意可列方程为 ．
19．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 ．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ．
三、（廊坊中考数学）解答题（共5小题，满分60分）
21．（8分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．
22．（12分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，1）和（3，4），
（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90度得到的△A′B′C′
（2）画出△ABC关于原点对称的△DEF；
（3）写出C与C′的距离 ．
23．（10分）已知二次函数的图象经过（1，﹣4）点，且顶点坐标为（﹣1，0），求此二次函数的解析式．
24．（16分）如图（1），将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
操作发现：
如图（2）：固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
（1）线段DE与线段AC的位置关系是 ．
（2）设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 ．
猜想论证：
（3）当△DEC绕点C旋转到图（3）的位置时，小明猜想．（2）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
25．（廊坊中考数学）（14分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 | 1 | 2 | … | x | … | 10 |
日产量（件） | 95 | 90 | … | 100﹣5x | … | 50 |
单件利润（万元） | 6 | 8 | … | 2x+4 | … | 24 |
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
廊坊中考数学参考答案与试题解析
一、选择题（共16小题，每小题3分，满分48分）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．x2﹣2=0 D．3x+
=4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】依据一元二次方程的定义回答即可．
【解答】解：A、x+2y=1，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故A错误；
B、方程2x（x﹣1）=2x2+3可变形为﹣2x=3，故不是一元二次方程，故B错误；
C、方程x2﹣2=0是一元二次方程，故C正确；
D、方程3x+=4不是一元二次方程，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1．﹣2） B．（﹣1．﹣2 ） C．（1.2） D．（﹣1.2）
【考点】二次函数的性质．
【分析】因为y=﹣（x+1）2﹣2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线解析式为y=﹣（x+1）2﹣2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
故选B．
【点评】根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．
（廊坊中考数学）
4．一元二次方程x（x+5）=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=5 B．x1=0，x2=﹣5 C．x1=0，x2=
D．x1=0，x2=﹣
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用分解因式法即可求解．
【解答】解：∵x（x+5）=0，
∴x=0或x+5=0，
解得：x1=0，x2=﹣5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，解题的关键是熟练进行分解因式．
5．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．
【解答】解：y=x2﹣2x+3中，
a=1，b=﹣2，c=3，
x=﹣
=﹣
=1．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键．
6．在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母．
【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．
【点评】本题比较容易，考查识别图形的对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
7．矩形的对角线相交于点 O，过点O 的直线交AD，BC 于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．2
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△OBF≌△ODE，图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．
【解答】解：根据矩形的对称性质得△OBF≌△ODE，
属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．
S△ADC=
CD×AD=
×2×3=3．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
8．（廊坊中考数学）一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣4，﹣5 B．3，﹣4，5 C．3，4，5 D．3，4，﹣5
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣4，﹣5．
故选A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9．如图，把4张扑克牌放在桌上，然后把其中三张扑克牌绕自身中心旋转180°后，得到下列图示．你知道哪一张扑克牌没被旋转过吗？（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】利用中心对称图形的定义分析得出即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，正确把握定义是解题关键．
10．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜1
【考点】二次函数的性质．
【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣（x+1）2﹣1，由于a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质可知当x＜1时，y随x的增大而增大，即可求出．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故选D．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小；a＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．
11．（廊坊中考数学）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y=（x﹣2）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的几何变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点A（2016，2017）关于原点O对称的点A′的坐标为（ ）
A．（﹣2016，2017） B．（2016，﹣2017） C．（2016，2017） D．（﹣2016，﹣2017）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点A的坐标是（2016，2017），则点A关于原点O的对称点的坐标是（﹣2016，﹣2017），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图示，下列结论：
①2a+b=0；
②a+c＞b；
③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；
④abc＞0
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据函数的对称轴，图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c=0，再结合图象分别进行判断各结论即可．
【解答】（廊坊中考数学）解：对称轴是x=﹣
=1，则2a+b=0，故①正确；
当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，则a+c＜b，故②错误；
（﹣2，0）关于x=1的对称点是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），故③正确；
根据开口向上可得a＞0，对称轴是x=1，则b＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴，则c＜0，则abc＞0，故④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断．
14．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣4
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，
配方得（x﹣1）2=4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
15．由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为x=﹣3
C．其最大值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的解析式进行逐项判断即可．
【解答】解：
∵y=2（x﹣3）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，1），
∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，
故选D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
16（廊坊中考数学）．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
17．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ②、③、④ （只填序号）．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：①不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故错误；
②③④都是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
⑤是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
故本题答案为：②③④．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
18．如图，给一幅长8m，宽5m的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为70m2，则根据题意可列方程为 （8+2x）（5+2x）=70 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】整个风景画的面积=风景画的长×风景画的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原风景画的宽+2x），把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵风景画的长为0+2x，宽为5+2x，
∴可列方程为（8+2x）（5+2x）=70．
故答案为（8+2x）（5+2x）=70．
【点评】本题考查用一元二次方程解决实际问题，找到挂图的长和宽是易错点．
19（廊坊中考数学）．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=1，x2=﹣3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．
故答案为：x1=1，x2=﹣3．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 （﹣4，3） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，根据旋转的性质可得OA=OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′，然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等，根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB，A′B′=OB，然后写出点A′的坐标即可．
【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，
∴OA=OA′，∠AOA′=90°，
∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠A′OB′，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，
∴点A′的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】（廊坊中考数学）本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共5小题，满分60分）
21．解方程：x2﹣2x﹣8=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．
【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）=0，
解得x+2=0，x﹣4=0，
x1=﹣2，x2=4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
22．（12分）（2016秋•安次区校级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，1）和（3，4），
（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90度得到的△A′B′C′
（2）画出△ABC关于原点对称的△DEF；
（3）写出C与C′的距离 5
．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的旋转化出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出D、E、F的坐标，然后描点即可；
（3）利用勾股定理计算CC′的长．
【解答】（廊坊中考数学）解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
（3）CC′=
=5
．
故答案为5．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．（10分）（2016秋•安次区校级期中）已知二次函数的图象经过（1，﹣4）点，且顶点坐标为（﹣1，0），求此二次函数的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（﹣1，0）代入计算出a的值即可．
【解答】解：根据题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2﹣4=0，
解得a=1，
所以二次函数的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
24．（16分）（2016秋•社旗县期中）如图（1），将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
操作发现：
如图（2）：固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
（1）线段DE与线段AC的位置关系是 DE∥AC ．
（2）设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2 ．
猜想论证：
（3）当△DEC绕点C旋转到图（3）的位置时，小明猜想．（2）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
（2）根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=
AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（3）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
【解答】（1）解：DE∥AC，理由如下：
∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
故答案为：DE∥AC；
（2）解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：S1=S2；
（3）证明：∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．
25．（14分）（廊坊中考数学）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 | 1 | 2 | … | x | … | 10 |
日产量（件） | 95 | 90 | … | 100﹣5x | … | 50 |
单件利润（万元） | 6 | 8 | … | 2x+4 | … | 24 |
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
y=（100﹣5x）（2x+4），
y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；
答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；
（2）∵y=﹣10x2+180x+400，
∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．
∵1≤x≤10的整数，
∴x=9时，y最大=1210．
答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．
【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．