2018衡水市中考数学压轴试题【解析版含答案】

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2018衡水市中考数学压轴试题

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．有四盒小包装杨梅，每盒以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　）

A．+2              B．﹣3              C．+3              D．﹣1

2．下面说法正确的是（　　）

A．是无理数              B．是有理数              C．是无理数              D．是有理数

3．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）

A．              B．              C．              D．

4．（衡水中考数学）下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3=a5              B．a2•a3=a5              C．（a2）3=a5              D．a10÷a2=a5

5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（　　）

A．南偏西30°方向              B．南偏西60°方向

C．南偏东30°方向              D．南偏东60°方向

6．将分数﹣化为小数是﹣0.. 5714，则小数点后第2016位上的数是（　　）

A．8              B．7              C．4              D．2

7．计算的结果是（　　）

A．6              B．              C．2              D．

8．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）

A．              B．              C．              D．

10．（衡水中考数学）甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/小时，则下列方程正确的是（　　）

A．﹣1.8=              B． +1.8=

C． +1.5=              D．﹣1.5=

11．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）

A．              B．              C．              D．

12．下列方程没有实数根的是（　　）

A．x2+4x=10              B．3x2+8x﹣3=0              C．x2﹣2x+3=0              D．（x﹣2）（x﹣3）=12

13．某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）

在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　）

A．一              B．二              C．三              D．四

14．如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（　　）

A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4

B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2

C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2

D．随C、D的运动位置而变化，没有最值

15．（衡水中考数学）如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2010拍时，你听到的是（　　）

A．同样的音“1”              B．同样的音“3”              C．同样的音“5”              D．不同的两个音

16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A．              B．              C．              D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），则m的值可能是　　　　　　．（填一个即可）

18．有A、B两个密室，小明进入入口后，可从左、中、右三条通道中任选一条，则小明进入A密室的概率为　　　　　　．

19．（衡水中考数学）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　　　　　　．

20．如图，金属杆AB的中点C与一个直径为12的圆环焊接并固定在一起，金属杆的A端着地并且与地面成30°角．圆环沿着AD向D的方向滚动（无滑动）的距离为　　　　　　时B点恰好着地．

三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是和．

（1）当x=1.5时，求AB的长；

（2）当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值．

22．已知，如图，DC∥AB，且DC=AB，E为AB的中点．

（1）求证：△AED≌△EBC；

（2）观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：　　　　　　．

23．（衡水中考数学）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球  B．乒乓球C．羽毛球  D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　　　　　　人；

（2）请你将条形统计图（2）补充完整；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

24．函数y=（x＞0）与y=（x＞0）的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线x=t（t＞0）分别与两个函数图象交于点Q，R，连接PQ，PR．

（1）用t表示PQ的长度，并判断随着t的值逐渐增大，RQ长度的变化情况；

（2）当t从小到大变化时，△PQR的面积是否发生变化？请说明理由；

（3）当t=1时，△PQR的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为　　　　　　时，△PQR的周长最小，最小周长是　　　　　　；如果不发生变化，请说明理由．

25．如图，在直角坐标系中，过点P（x，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x2+2与直线y=﹣x于A，B两点，以线段AB为对角线作正方形ADBC，已知点Q（a，b）为该抛物线上的点．

（1）写出AB的长度关于x的函数关系式，并指出AB的最小值；

（2）若x=1，当点Q在正方形ADBC边上（点A除外）时，求a的值．

（3）若a=﹣1时，当点Q在正方形ADBC的内部（包括边界）时，求x的取值范围．

26．（衡水中考数学）对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．

如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．

（1）当r=2时，在P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是　　　　　　；

（2）当P点坐标为（﹣3，6），则当⊙P的半径r是多少时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，试判断此时⊙P与直线AC的位置关系，并说明理由．

（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．

①将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，直接写出r的取值范围是　　　　　　．

②若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．

衡水中考数学参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．有四盒小包装杨梅，每盒以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　）

A．+2              B．﹣3              C．+3              D．﹣1

【考点】正数和负数．

【分析】实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数．

【解答】解：A、+2的绝对值是2；

B、﹣3的绝对值是3；

C、+3的绝对值是3；

D、﹣1的绝对值是．

D选项的绝对值最小．

故选：D．

2．（衡水中考数学）下面说法正确的是（　　）

A．是无理数              B．是有理数              C．是无理数              D．是有理数

【考点】实数．

【分析】直接利用有理数以及无理数的概念分别分析得出即可．

【解答】解：A、=1是有理数，故此选项错误；

B、是无理数，故此选项错误；

C、是有理数，故此选项错误；

D、=﹣3是有理数，故此选项正确．

故选：D．

3．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．

【解答】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，

得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，

故选：B．

4．（衡水中考数学）下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3=a5              B．a2•a3=a5              C．（a2）3=a5              D．a10÷a2=a5

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．

【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、a2•a3=a5，正确；

C、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；

D、应为a10÷a2=a10﹣2=a8，故本选项错误．

故选B．

5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（　　）

A．南偏西30°方向              B．南偏西60°方向

C．南偏东30°方向              D．南偏东60°方向

【考点】方向角．

【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．

【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，

∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，

∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．

故选：A．

6．将分数﹣化为小数是﹣0.. 5714，则小数点后第2016位上的数是（　　）

A．8              B．7              C．4              D．2

【考点】有理数．

【分析】分数﹣化为小数是﹣0.. 5714，循环节是857142，说明此循环小数中这6个数字为一个循环周期，要求小数点后面第2016位上的数字是几，就是求2016里面有几个6，再根据余数确定即可．

【解答】解：∵分数﹣化为小数是﹣0.. 5714，循环节是857142，

∴此循环小数中这6个数字为一个循环周期，

∵2016÷6=336；

∴小数点后面第2016位上的数字是2；

故选：D．

7．计算的结果是（　　）

A．6              B．              C．2              D．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】根据二次根式加减的一般步骤，先化简，再合并．

【解答】解：

=2﹣

=，

故选：D．

8．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．

故选B．

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．

【分析】先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．

【解答】解：∵OB=1，AB⊥OB，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，

∴当x=﹣1时，y=2，

∴A（﹣1，2）．

∵此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，

∴B1（2，0），

∴A1（2，2）．

∵点A1在函数y=（x＞0）的图象上，

∴k=4，

∴反比例函数的解析式为y=，O1（3，0），

∵C1O1⊥x轴，

∴当x=3时，y=，

∴P（3，）．

故选C．

10．（衡水中考数学）甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/小时，则下列方程正确的是（　　）

A．﹣1.8=              B． +1.8=

C． +1.5=              D．﹣1.5=

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据：原来火车行驶210千米所需时间﹣1.5=动车行驶210千米所需时间，列方程即可．

【解答】解：设原来火车的平均速度为x千米/小时，则动车运行速度为1.8x千米/小时，

根据题意，得：﹣1.5=，

故选：D．

11．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．

【解答】解：解不等式组得

分别表示在数轴上为：

故选C．

12．下列方程没有实数根的是（　　）

A．x2+4x=10              B．3x2+8x﹣3=0              C．x2﹣2x+3=0              D．（x﹣2）（x﹣3）=12

【考点】根的判别式．

【分析】先计算每个一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的值，再根据值的符号判断根的情况，从而得出答案．

【解答】解：A、∵△=16﹣4×1×（﹣10）=56＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；

B、∵△=64﹣4×3×（﹣3）=100＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；

C、∵△=4﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程无实数根，故本选项正确；

D、∵（x﹣2）（x﹣3）=12，∴x2﹣5x﹣6=0，∴△=25﹣4×1×（﹣6）=49＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；

故选C．

13．某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）

在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　）

A．一              B．二              C．三              D．四

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】设正方形的边长为a，计算出各种情况时正方形的面积，然后进行比较从而解得．

【解答】解：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线2a，方案③需用线2a+a，

如图所示：

∵AD=a，

∴AG=，AE=a，GE=a，

∴EF=a﹣2GE=a﹣a，

∴方案④需用线a×4+（a﹣a×2）=（1+）a．

∴方案④最省钱．

故选D．

14．（衡水中考数学）如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（　　）

A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4

B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2

C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2

D．随C、D的运动位置而变化，没有最值

【考点】轨迹．

【分析】连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD=2．

【解答】解；连接：OC、ON、OD．

∵N是CD的中点，

∴ON⊥CD，∠CON=∠DON．

又∵CM⊥AB，

∴∠ONC+∠CMO=180°．

∴O、N、C、M四点共圆．

∴∠NOC=∠NMC=30°．

∴∠COD=60°．

又∵OC=OD，

∴△OCD为等边三角形．

∴CD=．

故选：C．

15．（衡水中考数学）如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2010拍时，你听到的是（　　）

A．同样的音“1”              B．同样的音“3”              C．同样的音“5”              D．不同的两个音

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】根据题意，知甲锤每4次一循环，乙锤每6次一循环．根据规律分别计算在第2010拍时，听到的声音．

【解答】解：甲锤：2010÷4=502，则在第2010拍时，听到的是“3”的声音；

乙锤：2010÷6=335，则在第2010拍时，听到的是“1”的声音．

故选D．

16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；正方形的性质．

【分析】连接HM并延长至点P，使MP=MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，由△FHM≌△CPM，求出PC=FH=，根据等腰直角三角形的性质求出PQ=CQ=2，再运用勾股定理求出PD，根据三角形中位线性质定理可求出MN的长．

【解答】解：连接HM并延长至点P，使MP=MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，

∵M是线段CF的中点，

∴MF=MC，

在△FHM和△CPM中，

，

∴△FHM≌△CPM，

∴FH=PC，∠HFM=∠PCM，

∵EF=EH=2，

∴FH=PC=2，

∵FG∥BC，

∴∠GFM=∠BCM，

∴∠HFG=∠PCB=45°，

∴∠PCQ=45°，

∴PQ=QC=2，

∴DQ=CD+CQ=8，

∴PD=2，

∵线段HP的中点为M，DH的中点为N，

∴MN=PD=．

故选：C．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），则m的值可能是　1　．（填一个即可）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】先求出AB两点的坐标，进而可得出结论．

【解答】解：∵直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，

∴A（4，0），B（0，2），

∴当点P在直线y=﹣x+2上时，﹣+2=m，解得m=，

∵点P（1，m）在△AOB的形内，

∴0＜m＜，

∴m的值可以是1．

故答案为：1．

18．有A、B两个密室，小明进入入口后，可从左、中、右三条通道中任选一条，则小明进入A密室的概率为　　．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】列树状图得到一共有6种情况，其中进入A密室的有2种可能，即可利用概率公式求出小明从中间通道进入A密室的概率．

【解答】解：画出树状图得：

由表可知，小明进入密室后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入A密室的概率为： =．

故答案为：．

19．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　80π﹣160　．

【考点】（衡水中考数学）相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．

【解答】解：连接AC，

∵AE丄EF，EF丄FC，

∴∠E=∠F=90°，

∵∠AME=∠CMF，

∴△AEM∽△CFM，

∴，

∵AE=6，EF=8，FC=10，

∴，

∴EM=3，FM=5，

在Rt△AEM中，AM==3，

在Rt△FCM中，CM==5，

∴AC=8，

在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8•=4，

∴S正方形ABCD=AB2=160，

圆的面积为：π•（）2=80π，

∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．

故答案为：80π﹣160．

20．如图，金属杆AB的中点C与一个直径为12的圆环焊接并固定在一起，金属杆的A端着地并且与地面成30°角．圆环沿着AD向D的方向滚动（无滑动）的距离为　2π　时B点恰好着地．

【考点】弧长的计算．

【分析】（衡水中考数学）滚动距离就是弧长，当金属杆AB转动到与地面平行时，对应的圆心角为30度，所以对应的圆心角一共是60度，根据弧长公式可得结果．

【解答】解：由题意可知，圆环在滚动过程中，圆心角转动了60°，

所以圆环滚动的距离为=2π．

三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是和．

（1）当x=1.5时，求AB的长；

（2）当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值．

【考点】解分式方程；数轴．

【分析】（1）将x=1.5代入点A、点B的代数式，然后求出它们的值，再用点B表示的数减去点A表示的数，即可求得AB的长；

（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）当x=1.5时，

=，

=，

∴AB=﹣1﹣（﹣4）=﹣1+4=3，

即AB的长为3；

（2）由题意可得，

，

解得，x=1.5，

经检验x=1.5是分式方程的解，

即x的值是1.5．

22．已知，如图，DC∥AB，且DC=AB，E为AB的中点．

（1）求证：△AED≌△EBC；

（2）观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：　△AEC，△ECD，△ACD　．

【考点】平行四边形的判定．

【分析】由DC∥AB，且DC=AB，E为AB的中点，可判定四边形ADCE是平行四边形，有CE=AD，CE∥AD⇒∠BEC=∠BAD，故可由SAS证得△BEC≌△EAD，在平行四边形ADCE中，△AED，△AEC，△ECD，△AED都是等底等高的三角形，故它们的面积相等．

【解答】（1）证明：∵DC=AB，E为AB的中点，

∴CD=BE=AE．

又∵DC∥AB，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∴CE=AD，CE∥AD．

∴∠BEC=∠BAD．

在△BEC和△EAD中，

，

∴△BEC≌△EAD（SAS）．

（2）解：与△AED的面积相等的三角形有：△AEC，△ECD，△AED．

故答案为：△AEC，△ECD，△ACD．

23．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球  B．乒乓球C．羽毛球  D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　200　人；

（2）请你将条形统计图（2）补充完整；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；

（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；

（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）根据题意得：20÷=200（人），

则这次被调查的学生共有200人；

（2）补全图形，如图所示：

（3）列表如下：

所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，

则P==．

24．（衡水中考数学）函数y=（x＞0）与y=（x＞0）的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线x=t（t＞0）分别与两个函数图象交于点Q，R，连接PQ，PR．

（1）用t表示PQ的长度，并判断随着t的值逐渐增大，RQ长度的变化情况；

（2）当t从小到大变化时，△PQR的面积是否发生变化？请说明理由；

（3）当t=1时，△PQR的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为　（0，）　时，△PQR的周长最小，最小周长是　3+　；如果不发生变化，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）由于R和Q的横坐标都是t，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出RQ的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性；

（2）根据三角形面积公式易得S△PRQ=3，于是可判断PQR的面积不发生变化

（3）当t=1时，易得Q（1，1），R（1，4），则RQ=3，作点R关于y轴的对称点M，连结MQ，交y轴于P点，如图，则M点的坐标为（﹣1，4），利用待定系数法求出直线MQ的解析式为y=﹣x+，易得P点坐标为（0，）；然后根据两点之间线段最短可判断此时△PQR的周长最小，接着根据勾股定理计算出MQ，从而可得到△PQR的周长的最小值．

【解答】解：（1）当x=t时，y=，则Q（t，）；

当x=t时，y==，则R（t，），

所以RQ=﹣=，

当t＞0时，RQ随t的增大而减小；

（2）△PQR的面积不发生变化．理由如下：

∵S△PRQ=•RQ•h=××t=，

∴，PQR的面积不发生变化；

（3）△PQR的周长发生变化．

当t=1时，Q（1，1），R（1，4），则RQ=3，

作点R关于y轴的对称点M，连结MQ，交y轴于P点，如图，则M点的坐标为（﹣1，4），

设直线MQ的解析式为y=kx+b，

把M（﹣1，4），Q（1，1）分别代入得，解得，

∴直线MQ的解析式为y=﹣x+，

当x=0时，y=﹣x+=，

∴P点坐标为（0，）；

∵PM=PR，

∴PR+PQ=PM+PQ=WQ，

∴此时△PQR的周长最小，

在Rt△MRQ中，∵RQ=3，RM=2，

∴MQ==，

∴PQ+PR=MQ=，

∴△PQR的周长的最小值为3+．

故答案为（0，）；3+．

25．如图，在直角坐标系中，过点P（x，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x2+2与直线y=﹣x于A，B两点，以线段AB为对角线作正方形ADBC，已知点Q（a，b）为该抛物线上的点．

（1）写出AB的长度关于x的函数关系式，并指出AB的最小值；

（2）若x=1，当点Q在正方形ADBC边上（点A除外）时，求a的值．

（3）若a=﹣1时，当点Q在正方形ADBC的内部（包括边界）时，求x的取值范围．

【考点】（衡水中考数学）二次函数综合题．

【分析】（1）由AB⊥x轴，表示出点A，B的坐标，进而求出AB的函数关系式，最后确定出它的最小值；

（2）先求得A、B的坐标，进而求得AB的长，根据正方形的性质，求得C、D的坐标，然后根据待定系数法求得直线AC的解析式，与抛物线联立方程，解方程即可求得Q的坐标，从而求得a；

（3）分两种情况：①当P在y轴的右侧时，根据题意列出x+1=x2+2﹣3，x+1=﹣x+3；

②当P在y轴的左侧时，则﹣x﹣1=x2+2﹣3，﹣x﹣1=﹣x+3；解方程即可求得．

【解答】解：（1）∵过点P（x，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x2+2与直线y=﹣x于A，B两点，

∴A（x，x2+2），B（x，﹣x），

∴AB=x2+2﹣（﹣x）=x2+2+x=（x+）2+，

∴当x=﹣时，AB的最小值为．

（2）若x=1，则P（1，0），

∵过点P（1，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x2+2与直线y=﹣x于A，B两点，

∴A（1，3），B（1，﹣），

∴AB=，

∴AB的一半为，

∵以线段AB为对角线作正方形ADBC，

∴C，D的纵坐标为3﹣=，

∵点C的横坐标为1﹣=﹣，

∴C（﹣，），

∵A（1，3），

∴直线AC的解析式为y=x+2，

∴与抛物线y=x2+2联立得，

解得或（舍去），

∴Q（0，2），

∵点Q（a，b）为该抛物线上的点．

∴a=0．

（3）若a=﹣1，则Q的坐标为（﹣1，3），

①（衡水中考数学）当P在y轴的右侧时，

∴x+1=x2+2﹣3，解得x1=2，x2=0（舍去），

x+1=﹣x+3，解得x=4，

∴2≤x≤4；

②当P在y轴的左侧时，

则﹣x﹣1=x2+2﹣3，解得x=﹣1，

﹣x﹣1=﹣x+3，解得x=﹣，

∴﹣≤x≤﹣1；

综上，x的取值范围是2≤x≤4或﹣≤x≤﹣1．

26．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．

如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．

（1）当r=2时，在P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是　P2（﹣2，4）　；

（2）当P点坐标为（﹣3，6），则当⊙P的半径r是多少时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，试判断此时⊙P与直线AC的位置关系，并说明理由．

（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．

①将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，直接写出r的取值范围是　0＜r＜或r＞2　．

②若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．

【考点】（衡水中考数学）圆的综合题．

【分析】（1）根据“等距圆”的定义，可知只要圆经过正方形的中心，即是正方形的“等距圆”，也就是说圆心与正方形中心的距离等于圆的半径即可，从而可以判断哪个点可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心，本题得以解决；

（2）根据题意可知，只要求出点P与正方形ABCD的中心的距离即可求得半径r的长度，连接PE，可以得到直线PE的解析式，看点B是否在此直线上，由BE与直线AC的关心可以判断PE与直线AC的关系，本题得以解决；

（3）①根据题意，可以做出合适的辅助线，画出相应的图形，然后灵活转化，可以求得相应的r的取值范围，本题得以解决；

②根据题意，可以得到点P满足的条件，列出形应的二元一次方程组，从而可以求得点P的坐标．

【解答】解：（1）连接AC、BD相交于点M，如右图1所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点M是正方形ABCD的中心，到四边的距离相等，

∴⊙P一定过点M，

∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．

∴点M（0，2），

设⊙P的圆心坐标是（x，y），

∴，

将P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4，2）分别代入上面的方程，只有P2（﹣2，4）成立，

故答案为：P2（﹣2，4）；

（2）（衡水中考数学）由题意可得，

点M的坐标为（0，2），点P（﹣3，6），

∴r=，

即当P点坐标为（﹣3，6），则当⊙P的半径r是5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”；

此时⊙P与直线AC的位置关系是相交，

理由：∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧，

∴点C（﹣2，0），

设过点A（2，4），点C（﹣2，0）的直线的解析式为y=kx+b，

则，

解得，，

即直线AC的解析式为：y=x+2，

∴点P（﹣3，6）到直线AC的距离为： =，

∵＜5，

∴此时⊙P与直线AC的位置关系是相交；

（3）连接DH，作DT⊥HF于点T，以点D为圆心，DE长为半径作圆，交DT于点E2，交HD的延长线于点E1，如右图2所示，

①设过点H（0，8），F（2，6）的直线的解析式为y=kx+b，

则，得，

即直线HF的解析式为：y=﹣x+8，

∵HF⊥DT，D（2，0），

∴设直线DT所在直线的解析为：y=x+c，

则0=2+c得c=﹣2，

即直线DT所在的直线解析为：y=x﹣2，

∵点T是直线HT与直线DT的交点，

∴，

解得（衡水中考数学），，

即点T的坐标为（3，5），

∴DT=，

又∵DE2=DE=，

∴E2T=DT﹣DE2==，

∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；

∵D（0，2），H（0，8），

∴DH=，

又∵DE1=DE=，

∴HE1=2+2，

∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；

故答案为：0＜r＜或r＞2+2；

②设点P的坐标为（x，y），连接HF、EG交于点N，则点N为正方形EFGH的中心，如右上图2所示，

∵点E（0，2），N（3，5），点C（﹣2，0），点B（﹣2，4），⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，

∴，

解得，或，

即⊙P的圆心P的坐标是（5+2，﹣2）或（5﹣2，2）．

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