2018保定市中考数学压轴试题【解析版含答案】

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2018保定市中考数学压轴试题　

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．的相反数是（　　）

A．3              B．﹣3              C．              D．﹣

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

3．下列计算正确的是（　　）

A． =﹣4              B．（a2）3=a5              C．a•a3=a4              D．2a﹣a=2

4．雄县有“中国温泉之乡”的称号，位于北京、天津、保定三角腹地，处在华北平原牛驼镇地脉最佳部位，地热资源丰富．全县约六成面积蕴藏地热资源，地热水储量约821亿立方米，821亿用科学记数法表示为（　　）

A．821×108              B．8.21×109              C．8.21×1010              D．0.821×1011

5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）

A．甲              B．乙              C．丙              D．丁

6．（保定中考数学）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（　　）

A．              B．              C．              D．

7．如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m=（　　）

A．2﹣              B．2+              C．4﹣              D．4

8．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（　　）

A．1              B．              C．2              D．2

9．（保定中考数学）有三个除颜色不同外其他完全相同的球，分别标上数字﹣1，1，0，放入暗箱，然后从暗箱中随机摸出两个球，则两个球上数字互为相反数的概率为（　　）

A．              B．              C．              D．

10．如图，把边长为2的正方形纸片ABCD先对折一次再展开，折痕为MN，然后再沿过点B的线段折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕交AN于点E，则NF的长为（　　）

A．2              B．2﹣              C．﹣1              D．1

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分；共24分）

11．分解因式：m（a+2）2﹣2m（a+2）+m=　   　．

12．掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为　   　．

13．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　   　．

14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为　   　．

15．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是　   　cm．

16（保定中考数学）．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：

则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是　   　．

17．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于　   　．

18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第4个阴影三角形的面积是　   　，第2017个阴影三角形的面积是　   　．

三、解答题（本大题有8个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（1）解方程：2x2﹣5x+3=0；

（2）化简（﹣x+1）÷．

20．.先化简，再求值：（ +）÷，其中a=2017，b=．

21．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，连接BD，BD=DC，E是BC的中点，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F．

（1）求证：△DCE≌△FBE；

（2）若∠C=60°，指出图中与DE相等的线段，并说明理由．

22．（保定中考数学）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．

（1）

对角线条数分别为　   　、　   　、　   　、　   　．

（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．

（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．

23．在2017迎新春汉字听写大会上，石家庄市中学生表现优秀，成绩都达到了60分（包含60分）以上，为了了解各个分数段的分布情况．随机抽取了200名学生的成绩进行统计（成绩都为整数，且满分是100分），经过整理，得到两幅不完整的统计图表（如图）．

（1）在频数分布表中，m=　   　，n=　   　．

（2）请补全图中的频数分布直方图；

（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若我市有2000人参与了此项活动，请你估计约有多少人进入决赛？

24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

25．（保定中考数学）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，BP：PA=1：3，CD=2．

（1）求⊙O的半径；

（2）以CD为边作正方形CDEF，以C为圆心，CF的长为半径画弧交CB的延长线于点M，CB的延长线交DE于点N．

①求阴影部分的面积；

②连接OD，请猜想四边形OBND的形状，并证明你的猜想；

③若正方形CDEF绕着点O旋转一周，求边EF扫过的面积．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c过A（0，4），B（4，0），C（2，4）三点，与x轴另一交点记作D，直线y=kx+n过C、D两点．

（1）求抛物线与直线CD的解析式；

（2）在抛物线y=ax2+bx+c的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小，若存在，请写出点P的坐标，并求出PA+PD的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）若点E为抛物线y=ax2+bx+c的顶点，连接EC、ED，则在直线y=kx+n的上方的抛物线上是否存在一点M，使得S△MCD=S△DEC，若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

保定中考数学参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．的相反数是（　　）

A．3              B．﹣3              C．              D．﹣

【考点】28：实数的性质．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：的相反数是﹣，

故选：D．

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．

故选B．

3．下列计算正确的是（　　）

A． =﹣4              B．（a2）3=a5              C．a•a3=a4              D．2a﹣a=2

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；22：算术平方根；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．

【分析】根据=|a|；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行分析即可．

【解答】解：A、=4，故原题计算错误；

B、（a2）3=a6，故原题计算错误；

C、a•a3=a4，故原题计算正确；

D、2a﹣a=a，故原题计算错误；

故选：C．

4．雄县有“中国温泉之乡”的称号，位于北京、天津、保定三角腹地，处在华北平原牛驼镇地脉最佳部位，地热资源丰富．全县约六成面积蕴藏地热资源，地热水储量约821亿立方米，821亿用科学记数法表示为（　　）

A．821×108              B．8.21×109              C．8.21×1010              D．0.821×1011

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将821亿用科学记数法表示为：8.21×1010．

故选C．

5．（保定中考数学）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）

A．甲              B．乙              C．丙              D．丁

【考点】W7：方差；W1：算术平均数．

【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．

【解答】解：∵ =＞=，

∴从甲和丙中选择一人参加比赛，

∵=＜＜，

∴选择甲参赛，

故选：A．

6．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．

故选A．

7．如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m=（　　）

A．2﹣              B．2+              C．4﹣              D．4

【考点】（保定中考数学）F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【分析】由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合等边三角形的性质即可得出点C的坐标，再将点C的横坐标代入直线AB中可求出点C′的坐标，由点C、C′的坐标可得出m的值．

【解答】解：当y=2x+4=0时，x=﹣2，

∴点A的坐标为（﹣2，0）．

∵△OAC为以OA为边的等边三角形，

∴点C的坐标为（﹣1，﹣）．

当x=﹣1时，y=2x+4=2，

∴点C′的坐标为（﹣1，2），

∴m=2﹣（﹣）=2+．

故选B．

8．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（　　）

A．1              B．              C．2              D．2

【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．

【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP=OE=．

【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，

则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，

在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，

∴OE==1，

同理可得OF=1，

∵AB⊥CD，

∴四边形OEPF为矩形，

而OE=OF=1，

∴四边形OEPF为正方形，

∴OP=OE=．

故选B．

9．有三个除颜色不同外其他完全相同的球，分别标上数字﹣1，1，0，放入暗箱，然后从暗箱中随机摸出两个球，则两个球上数字互为相反数的概率为（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】X6：列表法与树状图法；14：相反数．

【分析】先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出两个之和为0的可能数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：列表如下：（两个数和的情形）

一共有3种可能，和为0的只有一种可能，

∴两个球上数字互为相反数的概率=，

故选B．

10．（保定中考数学）如图，把边长为2的正方形纸片ABCD先对折一次再展开，折痕为MN，然后再沿过点B的线段折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕交AN于点E，则NF的长为（　　）

A．2              B．2﹣              C．﹣1              D．1

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LE：正方形的性质．

【分析】先根据折叠的性质以及勾股定理，求得MF的长，再根据MN的长，即可得到NF的长．

【解答】解：由折叠可得，BF=BA=2，BM=BC=1，∠BMN=90°，

∴Rt△BFM中，MF===，

又∵MN=AB=2，

∴NF=MN﹣MF=2﹣，

故选：B．

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分；共24分）

11．分解因式：m（a+2）2﹣2m（a+2）+m=　m（a+1）2　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】根据提公因式法和完全平方公式可以解答本题．

【解答】解：m（a+2）2﹣2m（a+2）+m

=m[（a+2）2﹣2（a+2）+1]

=m[（a+2）﹣1]2，

=m（a+1）2

故答案为：m（a+1）2．

12．掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为　　．

【考点】X4：概率公式．

【分析】向上一面出现的点数大于2且小于5的共2种情况．

【解答】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于2且小于5的情况有2种，

故其概率是=，

故答案为：．

13．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　5　．

【考点】A3：一元二次方程的解．

【分析】方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式．

【解答】解：∵x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，

∴a﹣b﹣10=0，

∴a﹣b=10．

∵a≠﹣b，

∴a+b≠0，

∴====5，

故答案是：5．

14．（保定中考数学）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为　24　．

【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．

【解答】解：连接BD，交AC与点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

在Rt△AOB中，

∵AB=15，sin∠BAC=，

∴sin∠BAC==，

∴BO=9，

∴AB2=OB2+AO2，

∴AO===12，

∴AC=2AO=24，

故答案为24．

15．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是　10　cm．

【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．

【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．

【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．

连接OC，交AB于D点．连接OA．

∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，

∴OC⊥AB．

∴AD=4cm．

设半径为Rcm，则R2=42+（R﹣2）2，

解得R=5，

∴该光盘的直径是10cm．

故答案为：10

16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：

则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是　x1=﹣4，x2=0　．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性求出y值等于﹣2的自变量x的值即可．

【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，

∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，

∵x=﹣4时，y=﹣2，

∴x=0时，y=﹣2，

∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4，x2=0．

故答案为：x1=﹣4，x2=0．

17．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于　4或8　．

【考点】Q2：平移的性质；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；L7：平行四边形的判定与性质；LE：正方形的性质．

【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．

【解答】解：设AC交A′B′于H，

∵A′H∥CD，AC∥CA′，

∴四边形A′HCD是平行四边形，

∵∠A=45°，∠D=90°

∴△A′HA是等腰直角三角形

设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x

∴x•（12﹣x）=32

∴x=4或8，

即AA′=4或8cm．

故答案为：4或8．

18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第4个阴影三角形的面积是　128　，第2017个阴影三角形的面积是　24033　．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KW：等腰直角三角形．

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，即可得出OA1、A2B1、A3B2、A4B3的值，根据边的长度的变化即可找出变化规律“An+1Bn=BnBn+1=2n+1”，再根据三角形的面积即可得出Sn+1=×（2n+1）2=22n+1，分别代入n=3、2016即可求出结论．

【解答】解：当x=0时，y=x+2=2，

∴OA1=OB1=2；

当x=2时，y=x+2=4，

∴A2B1=B1B2=4；

当x=2+4=6时，y=x+2=8，

∴A3B2=B2B3=8；

当x=6+8=14时，y=x+2=16，

∴A4B3=B3B4=16．

∴An+1Bn=BnBn+1=2n+1，

∴Sn+1=×（2n+1）2=22n+1．

当n=3时，S4=22×3+1=128；当n=2016时，S2017=22×2016+1=24033．

故答案为：128；

三、解答题（本大题有8个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（保定中考数学）（1）解方程：2x2﹣5x+3=0；

（2）化简（﹣x+1）÷．

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；6C：分式的混合运算．

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．

【解答】解：（1）（2x﹣3）（x﹣1）=0，

2x﹣3=0或x﹣1=0，

所以x1=，x2=1；

（2）原式=•

=•

=﹣．

20．.先化简，再求值：（ +）÷，其中a=2017，b=．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入即可解答本题．

【解答】解：（ +）÷

=

=

=2b，

当a=2017，b=时，原式=2．

21．（保定中考数学）如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，连接BD，BD=DC，E是BC的中点，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F．

（1）求证：△DCE≌△FBE；

（2）若∠C=60°，指出图中与DE相等的线段，并说明理由．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．

【分析】（1）由AS证明△DCE≌△FBE即可；

（2）由全等三角形的性质得出FE=DE；证明△BCD是等边三角形，得出∠DBC=∠BDC=60°，证出∠ABD=∠DBC，DE⊥BC，由角平分线的性质即可得出DA=DE∴DA=DE．

【解答】（1）证明：∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥CD，

∴∠C=∠EBF，

在△DCE和△FBE中，，

∴△DCE≌△FBE（ASA）；

（2）解：图中与DE相等的线段是FE、DA；理由如下：

∵△DCE≌△FBE，

∴DE=FE，

∵BD=CD，∠C=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠DBC=∠BDC=60°，

∵AB∥CD，AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABD=60°=∠DBC，

∵E是BC的中点，

∴DE⊥BC，

∴DA=DE．

22．连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．

（1）

对角线条数分别为　2　、　5　、　9　、　　．

（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．

（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．

【考点】AD：一元二次方程的应用；L2：多边形的对角线；L3：多边形内角与外角．

【分析】（1）设n边形的对角线条数为an，根据多边形对角线条数公式即可求出结论；

（2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论；

（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论．

【解答】解：（1）设n边形的对角线条数为an，

则a4==2，a5==5，a6==9，…，an=．

故答案为：2；5；9；．

（2）假设可以，根据题意得：

=20，

解得：n=8或n=﹣5（舍去），

∴n边形可以有20条对角线，此时边数n为八．

（3）∵一个n边形的内角和为1800°，

∴180°×（n﹣2）=1800°，

解得：n=12，

∴==60．

答：这个多边形有60条对角线．

23．在2017迎新春汉字听写大会上，石家庄市中学生表现优秀，成绩都达到了60分（包含60分）以上，为了了解各个分数段的分布情况．随机抽取了200名学生的成绩进行统计（成绩都为整数，且满分是100分），经过整理，得到两幅不完整的统计图表（如图）．

（1）在频数分布表中，m=　80　，n=　0.2　．

（2）请补全图中的频数分布直方图；

（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若我市有2000人参与了此项活动，请你估计约有多少人进入决赛？

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．

【分析】1）用抽查的总人数乘以成绩在70≤x＜80段的人数所占的百分比求出m；用成绩在80≤x＜90段的频数除以总人数即可求出n；

（2）根据（1）求出的m的值，直接补全频数分布直方图即可；

（3）用娄底市共有的人数乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案．

【解答】解：（1）根据题意得：m=200×0.40=80（人），n=40÷200=0.20；

故答案为：80，0.20；

（2）

（3）根据题意得：

4000×（0.20+0.10）=1200（人）．

答：估计约有1200人进入决赛．

24．（保定中考数学）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；

（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可．

【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵四边形OABC是矩形，

∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，

∴DA=DB，

∴四边形AEBD是菱形；

（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：

∵四边形AEBD是菱形，

∴AB与DE互相垂直平分，

∵OA=3，OC=2，

∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，

∴点E坐标为：（，1），

设经过点E的反比例函数解析式为：y=，

把点E（，1）代入得：k=，

∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．

25．（保定中考数学）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，BP：PA=1：3，CD=2．

（1）求⊙O的半径；

（2）以CD为边作正方形CDEF，以C为圆心，CF的长为半径画弧交CB的延长线于点M，CB的延长线交DE于点N．

①求阴影部分的面积；

②连接OD，请猜想四边形OBND的形状，并证明你的猜想；

③若正方形CDEF绕着点O旋转一周，求边EF扫过的面积．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）先设出BP=x，进而表示出OP=x，在Rt△OPD中，利用勾股定理求出x即可得出结论；

（2）①先利用锐角三角函数求出∠PCB=30°，进而得出∠NCF=60°，再用扇形的面积公式即可；

②先判断出OB∥DN，再利用三角形的中位线判断出OB=DN，得出四边形OBND是平行四边形，最后用半径相等得出四边形OBND是菱形；

③先判断出EF扫过的面积是圆环的面积，即可得出结论．

【解答】解：（1）设BP=x，

∵BP：AP=1：3，

∴AP=3x，

∴AB=AP+BP=4x，

∴OD=OB=2x，

∴OP=OB﹣PB=x，

∵CD⊥AB，

∴CP=DP=CD=，

在Rt△OPD中，根据勾股定理得，OP2+DP2=OD2，

∴x2+3=（2x）2，

∴x=﹣1（舍）或x=1，

∴⊙O的半径为AB=2；

（2）①由（1）知PB=x=1，CP=，

在Rt△BPC中，tan∠PCB===，

∴∠PCB=30°，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CF=CD=2，∠DCF=90°，

∴∠NCF=90°﹣30°=60°，

∴S阴影部分=S扇形NCF==2π；

②四边形OBND是菱形，

理由：∵四边形CDEF是正方形，

∴∠CDE=90°=∠CPB，

∴OB∥DN，

由（1）知，CP=DP，

∴DN=2PB=OB，

∴四边形OBND是平行四边形，

∵OB=OD，

∴▱OBND是菱形；

③如图，

连接OF，延长AB交正方形的边EF于G，则OG⊥EF，

∴FG=PC=，

在Rt△OGF中，OF2=OG2+FG2，

∴OF2﹣OG2=FG2=3

∴正方形CDEF绕点O旋转一周，边EF扫过的面积=S阴影部分的圆环=π•OF2﹣π•OG2=π（OF2﹣OG2）=πFG2=3π．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c过A（0，4），B（4，0），C（2，4）三点，与x轴另一交点记作D，直线y=kx+n过C、D两点．

（1）求抛物线与直线CD的解析式；

（2）在抛物线y=ax2+bx+c的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小，若存在，请写出点P的坐标，并求出PA+PD的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）若点E为抛物线y=ax2+bx+c的顶点，连接EC、ED，则在直线y=kx+n的上方的抛物线上是否存在一点M，使得S△MCD=S△DEC，若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入抛物线的解析式可得到关于a、b、c的方程组，从而可求得a、b、c的值；

（2）连接AB交抛物线的对称轴与点P，连接DP．先求得抛物线的对称轴方程为直线x=1，然后再求得AB的解析式，从而可求得点P的坐标，依据轴对称的性质可知当A、P、B在一条直线上时，AP+DP的最小值等于AB的长；

（3）过点E作ME∥DC，交抛物线与点M．先求得DC的解析式，然后再求得ME的解析式，最后求得直线ME与抛物线的交点坐标即可．

【解答】（保定中考数学）解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．

将A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入得：，

解得：a=﹣，b=1，c=4．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）如图1所示：连接AB交抛物线的对称轴与点P，连接DP．

∵y=﹣x2+x+4，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∵点B和点D关于直线x=1对称，

∴DP=BP．

∴AP+DP=AP+PB．

∴当A、P、B在一条直线上时，有最小值，AP+DP的最小值等于AB的长．

设直线AB的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：4k+4=0，解得k=﹣1，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+4．

当x=1时，y=3，

∴P（1，3）．

AP+DP的最小值=AB=4．

（3）如图2所示：过点E作ME∥DC，交抛物线与点M．

∵EM∥DC，

∴点M到DC的距离=点E到DC的距离．

∵等底等高的两个三角形面积相等，

∴S△MCD=S△DEC．

把y=0代入y=﹣x2+x+4得：﹣ x2+x+4=0，解得x=﹣2或x=4，

∴点D的坐标为（﹣2，0）．

将x=1代入入y=﹣x2+x+4得：y=，

∴E（1，）．

设直线DC的解析式为y=mx+n，将点D和点C的坐标代入得：，解得m=1，n=2．

∴直线DC的解析式为y=x+2．

设直线ME的坐标为y=x+d，将点E的坐标代入得：1+d=，解得：d=．

∴直线ME的解析式为y=x+．

将y=x+与y=﹣x2+x+4联立解得：或．

∴点M的坐标为（﹣1，）．

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