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2018石家庄市中考数学压轴试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．在下列计算中，正确的是（ ）
A．（ab2）3=ab6 B．（3xy）3=9x3y3 C．（﹣2a2）2=﹣4a4 D．（﹣2）﹣2=
2．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6
3．把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（3x+y）（x﹣3y） B．3x（x2﹣2xy+y2） C．x（3x﹣y）2 D．3x（x﹣y）2
4．人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m，用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×10﹣5m B．77×10﹣6m C．77×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
5．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．
＞
C．4﹣3a＞4﹣3b D．3a﹣4＞3b﹣4
6．已知32m=8n，则m、n满足的关系正确的是（ ）
A．4m=n B．5m=3n C．3m=5n D．m=4n
7（石家庄中考数学）．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．55°
8．计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（ ）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
9．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
10．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（ ）
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
11．以下说法中，正确的个数有（ ）
（1）三角形的内角平分线、中线、高都是线段；
（2）三角形的三条高一定都在三角形的内部；
（3）三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形；
（4）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如果方程组
的解为
，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．因式分解：x﹣x3= ．
14．（﹣
）﹣2﹣（π﹣3.14）0+（﹣
）2017×（
）2017= ．
15．不等式组
的解集是0＜x＜2，那么a+b的值等于 ．
16．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 度．
17．（石家庄中考数学）由方程组
，可以得到x+y+z的值是 ．
18．如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC=8cm2，则图中阴影部分△CEF的面积是 cm2．
19．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ．
20．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如
，
，
…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如
=+
， =+
， =
+
，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
21．（1）先化简，再求值：x2﹣（x+2）（2﹣x）﹣2（x﹣5）2，其中x=3．
（2）解不等式组
，并求它的整数解．
22．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是 ；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是 ；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
23．（石家庄中考数学）如图，已知四边形ABCD中，∠D=100°，AC平分∠BCD，且∠ACB=40°，∠BAC=70°．
（1）AD与BC平行吗？试写出推理过程；
（2）求∠DAC和∠EAD的度数．
24．（1）如图1，在边长为a的正方形中，画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 ，宽是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
25．在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对城区周边污水进行处理．已知每台A型设备价格为12万元，每台B型设备价格为10万元；1台A型设备和2台B型设备每周可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，但每周处理污水的量又不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？
石家庄中考数学参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．在下列计算中，正确的是（ ）
A．（ab2）3=ab6 B．（3xy）3=9x3y3 C．（﹣2a2）2=﹣4a4 D．（﹣2）﹣2=
【考点】6F：负整数指数幂；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别根据负整数指数幂的运算、积的乘方与幂的乘方进行依次计算即可．
【解答】解：A、错误，结果应为a3b6；
B、错误，结果应为27x3y3；
C、错误，结果应为4a4；
D、正确．
故选D．
2．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A中，3+3＞3，能构成三角形；
B中，3+3=6，不能构成三角形；
C中，3+2=5，不能构成三角形；
D中，3+2＜6，不能构成三角形．
故选A．
3．（石家庄中考数学）把代数式3x3﹣6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（3x+y）（x﹣3y） B．3x（x2﹣2xy+y2） C．x（3x﹣y）2 D．3x（x﹣y）2
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：3x3﹣6x2y+3xy2，
=3x（x2﹣2xy+y2），
=3x（x﹣y）2．
故选D．
4．人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m，用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×10﹣5m B．77×10﹣6m C．77×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＜0，n=﹣6．
【解答】解：0.000 007 7=7.7×10﹣6．
故选D．
5．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．
＞
C．4﹣3a＞4﹣3b D．3a﹣4＞3b﹣4
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都除以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C符合题意；
D、都乘以3，都减4，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：C．
（石家庄中考数学）
6．已知32m=8n，则m、n满足的关系正确的是（ ）
A．4m=n B．5m=3n C．3m=5n D．m=4n
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵32m=8n，
∴（25）m=（23）n，
∴25m=23n，
∴5m=3n．
故选：B．
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．55°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠2=50°，
∴∠4=∠2=50°．
∵∠1=30°，
∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．
故选A．
8．计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（ ）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
【考点】4F：平方差公式．
【分析】原式利用平方差公式化简，即可得到结果．
【解答】解：（a+b）（﹣a+b）=（b+a）（b﹣a）=b2﹣a2．
故选A．
9．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行计算即可．
【解答】解：（a+1）x＜a+1，
当a+1＜0时x＞1，
所以a+1＜0，解得a＜﹣1，
故选：B．
10．（石家庄中考数学）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（ ）
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
【考点】Q1：生活中的平移现象．
【分析】根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．
【解答】解：根据网格结构，观察对应点A、D，点A向左平移5个单位，再向下平移2个单位即可到达点D的位置，
所以平移步骤是：先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位．
故选：A．
11．以下说法中，正确的个数有（ ）
（1）三角形的内角平分线、中线、高都是线段；
（2）三角形的三条高一定都在三角形的内部；
（3）三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形；
（4）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】K7：三角形内角和定理；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】分别根据三角形的内角平分线、中线、高的定义及三角形内角和定理进行逐一判断即可．
【解答】解：（1）正确，符合三角形的内角平分线、中线、高的定义；
（2）错误，当三角形为直角三角形或钝角三角形时不成立；
（3）正确，可根据三角形的中线把原三角形分成的小三角形中，一个小三角形与原三角形同底但高为原三角形的一半进行证明；
（4）正确，根据三角形的内角和定理即可证明．
故选C．
12．（石家庄中考数学）如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【考点】97：二元一次方程组的解．
【分析】把代入2x+y=16先求出■，再代入x+y求★．
【解答】解：把代入2x+y=16得12+■=16，解得■=4，
再把
代入x+y=★得★=6+4=10，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．因式分解：x﹣x3= x（1+x）（1﹣x） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式x，然后运用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x﹣x3，
=x（1﹣x2），
=x（1+x）（1﹣x）．
14．（﹣）﹣2﹣（π﹣3.14）0+（﹣
）2017×（
）2017= 2 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】根据非零的零次幂，负整数指数幂，积得乘方，以及负数的奇数次幂可得答案．
【解答】解：原式=4﹣1+（﹣1）
=2．
故答案为2．
15．不等式组
的解集是0＜x＜2，那么a+b的值等于 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别将a、b看做常数求出每个不等式解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解方程组可得a、b的值，代入计算可得．
【解答】解：解不等式x+2a＞4，得：x＞﹣2a+4，
解不等式2x﹣b＜5，得：x＜
，
∵不等式组的解集是0＜x＜2，
∴
，
解得：a=2，b=﹣1，
∴a+b=1，
故答案为：1．
16．（石家庄中考数学）如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 40 度．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】过点A作l1的平行线，根据平行线的性质，即可求解．
【解答】解：过点A作AB∥l1，则l1∥AB∥l2．
∴∠1+∠CAB=180°，
∴∠BAC=180°﹣120°=60°．
∴∠DAB=∠2﹣∠BAC=100°﹣60°=40°．
∵AB∥l2
∴∠3=∠DAB=40°．
故答案为：40．
17．由方程组
，可以得到x+y+z的值是 3 ．
【考点】9C：解三元一次方程组．
【分析】根据方程组，三个方程相加，即可得到x+y+z的值．
【解答】解：∵
①+②+③，得
2x+2y+2z=6，
∴x+y+z=3，
故答案为：3．
18．（石家庄中考数学）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC=8cm2，则图中阴影部分△CEF的面积是 2 cm2．
【考点】K3：三角形的面积．
【分析】由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得，△BCE和△EFC的面积之比，即可解答出；
【解答】解：如图，
∵E为AD的中点，
∴S△ABC：S△BCE=2：1，
同理可得，S△BCE：S△EFC=2：1，
∵S△ABC=8cm2，
∴S△EFC=S△ABC=
8=2cm2；
故答案为：2．
19．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 360° ．
【考点】L3：多边形内角与外角；K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B=∠1，∠E+∠F=∠2，∠C+∠D=∠3，再根据三角形的外角和是360°进行解答．
【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1=∠A+∠B，
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2=∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3=∠C+∠D，
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．
20．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，
，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如=+
， =+
， =
+
，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为 =+
．
【考点】12：有理数．
【分析】根据题意得出所求两个单位分数之和即可．
【解答】解：根据题意得： =+，
故答案为： =+
三、（石家庄中考数学）解答题（本大题共5小题，共52分）
21．（1）先化简，再求值：x2﹣（x+2）（2﹣x）﹣2（x﹣5）2，其中x=3．
（2）解不等式组
，并求它的整数解．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：（1）原式=x2﹣4+x2﹣2x2+20x﹣50=20x﹣54，
把x=3代入得：原式=60﹣54=6；
（2）
，
由①得：x＜4，
由②得：x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x＜4，
则不等式组的整数解为1，2，3．
22．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是 105° ；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是 120° ；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
【考点】（石家庄中考数学）K7：三角形内角和定理．
【分析】（1）根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+∠ABC+
∠ACB=180°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）根据得到∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=105°；
（2）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+
∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=120°；
（3）∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=105°；
∴若∠A=n°，∠BOC=n°+90°；
故答案为：105°，120°．
23．（石家庄中考数学）如图，已知四边形ABCD中，∠D=100°，AC平分∠BCD，且∠ACB=40°，∠BAC=70°．
（1）AD与BC平行吗？试写出推理过程；
（2）求∠DAC和∠EAD的度数．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据角平分线定义求出∠BCD，求出∠D+∠BCD=180°，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据平行线的性质求出∠DAC，代入∠EAD=180°﹣∠DAC﹣∠BAC求出即可．
【解答】解：（1）AD∥BC，
理由是：∵AC平分∠BCD，∠ACB=40°，
∴∠BCD=2∠ACB=80°，
∵∠D=100°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC．
（2）∵AD∥BC，∠ACB=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=40°+70°=110°，
∴∠EAD=180°﹣∠DAB=180°﹣110°=70°．
24．（1）如图1，在边长为a的正方形中，画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【考点（石家庄中考数学）】4G：平方差公式的几何背景．
【分析】（1）第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；
（2）第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；
（3）根据这两个图形的阴影部分的面积相等即可得到结论；
（4）根据平方差公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵大正方形的面积=a2，小正方形的面积=b2，
∴阴影部分的面积为：a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（3）因而得到乘法公式是a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
（4）①10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=100﹣0.09=99.91；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）=[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2．
25．在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对城区周边污水进行处理．已知每台A型设备价格为12万元，每台B型设备价格为10万元；1台A型设备和2台B型设备每周可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，但每周处理污水的量又不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．
【解答】（石家庄中考数学）解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，依题意有
，
解得
．
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；
（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，
则
，
解得12.5≤x≤15，
第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；
第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；
第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；
即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．
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