2018年周口中考数学冲刺试题word版（含解析）

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2018年周口中考数学冲刺试题

一、选择题：每小题3分，共24分

1．﹣的倒数是（　　）

A．﹣3              B．3              C．﹣              D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．2x2+x3=3x5              B．（x2）3=x5

C．（m+n）2=m2+n2              D．﹣m2n+2nm2=m2n

3．用配方法解方程x2﹣1=6x，配方后的方程是（　　）

A．（x﹣3）2=9              B．（x﹣3）2=1              C．（x﹣3）2=10              D．（x+3）2=9

4．在数﹣1，0，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y=x+2图象上的概率是（　　）

A．              B．              C．              D．

5．图中几何体的俯视图是（　　）

A．              B．              C．              D．

6．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=图象上的点，且且x1＜x2＜0＜x3，则下列正确的是（　　）

A．y1＞y2＞y3              B．y2＞y3＞y1              C．y2＞y1＞y3              D．y1＞y3＞y2

7．若关于x的分式方程+=3有增根，则m的值是（　　）

A．m=﹣1              B．m=2              C．m=3              D．m=0或m=3

8．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是70°，为了监控整个展厅，最少需在圆形的边缘上共安装这样的监视器（　　）

A．3台              B．4台              C．5台              D．6台

二、填空题：每小题3分，共21分

9．已知圆锥的侧面积为15πcm2，底面半径为3cm，则圆锥的高是______．

10．如果线段AB=45cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=______cm．

11．把抛物线y=x2﹣6x+4的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是______．

12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ABC=______．

13．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，AC是弦，AC=4，∠BOC=______°．

14．如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是______．

15．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是______．

三、解答题：本大题共8小题，共75分

16．先化简，再计算：，其中x=．

17．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度数．

18．某学校为了解学生进行体育锻炼的情况，对某班学生每天的体育锻炼时间进行了统计，并绘制了以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求全班学生人数和m的值；

（2）该班学生的体育锻炼时间的中位数落在______时间段；

（3）请你根据以上信息估计全校5000人中每天体育锻炼时间不少于50分钟的人数．

19．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+2m=3，n2+2n=3，求代数式m2﹣3mn+n2﹣1的值．

20．如图，在玲玲家住宅楼CD的前面新建了一个大型商场AB，当光线与地面的夹角是22°时，商场在玲玲家楼上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，商场楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求商场AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

21．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．

（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）根据图象直接写出使y1＜y2的x的取值范围．

22．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明过程；

（3）类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：______．

23．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

2018年周口中考数学冲刺试题参考答案

一、选择题：每小题3分，共24分

1．﹣的倒数是（　　）

A．﹣3              B．3              C．﹣              D．

【考点】倒数．

【分析】据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个数的倒数就是用1除以这个数，0没有倒数．由此解答．

【解答】解：1÷（﹣）=﹣3．

故选：A．

2．下列计算正确的是（　　）

A．2x2+x3=3x5              B．（x2）3=x5

C．（m+n）2=m2+n2              D．﹣m2n+2nm2=m2n

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．

【分析】分别利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则和完全平方公式计算得出答案．

【解答】解：A、2x2+x3，无法计算，故此选项错误；

B、（x2）3=x6，故此选项错误；

C、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此选项错误；

D、﹣m2n+2nm2=m2n，正确．

故选：D．

3．用配方法解方程x2﹣1=6x，配方后的方程是（　　）

A．（x﹣3）2=9              B．（x﹣3）2=1              C．（x﹣3）2=10              D．（x+3）2=9

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】先把方程变形为x2﹣6x=1，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．

【解答】解：x2﹣6x=1，

x2﹣6x+9=10，

（x﹣3）2=10．

故选C．

4．在数﹣1，0，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y=x+2图象上的概率是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，然后根据一次函数图象上点的坐标特征，找出点刚好在一次函数y=x+2图象上的结果数，再利用概率公式计算．

【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中点刚好在一次函数y=x+2图象上的结果数为1，

所以该点刚好在一次函数y=x+2图象上的概率=．

故选D．

5．图中几何体的俯视图是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可．

【解答】解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选：D．

6．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=图象上的点，且且x1＜x2＜0＜x3，则下列正确的是（　　）

A．y1＞y2＞y3              B．y2＞y3＞y1              C．y2＞y1＞y3              D．y1＞y3＞y2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】由k=﹣2＜0，可得此反比例函数的图象位于二、四象限，然后画出图象，确定各点的位置，即可求得答案．

【解答】解：∵k=﹣2＜0，

∴此反比例函数的图象位于二、四象限，

如图：

∴y2＞y1＞y3．

故选C．

7．若关于x的分式方程+=3有增根，则m的值是（　　）

A．m=﹣1              B．m=2              C．m=3              D．m=0或m=3

【考点】分式方程的增根．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．

【解答】解：去分母得：m﹣x﹣1=3x﹣6，

由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m﹣3=0，

解得：m=3，

故选C

8．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是70°，为了监控整个展厅，最少需在圆形的边缘上共安装这样的监视器（　　）

A．3台              B．4台              C．5台              D．6台

【考点】圆周角定理．

【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是140°，则共需安装360°÷140°≈3．

【解答】解：∵∠A=70°，

∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是140°，

∴共需安装360°÷140°≈3．

故选：A．

二、填空题：每小题3分，共21分

9．已知圆锥的侧面积为15πcm2，底面半径为3cm，则圆锥的高是　4cm　．

【考点】圆锥的计算．

【分析】圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边，求圆锥的高就可以转化为求母线长．圆锥的侧面的展开图是扇形，扇形的半径就等于母线长．

【解答】解：侧面展开图扇形的弧长是6π，设母线长是r，则×6π•r=15π，

解得：r=5，

根据勾股定理得到：圆锥的高==4cm．

故答案为4cm．

10．如果线段AB=45cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=　cm或　cm．

【考点】黄金分割．

【分析】讨论：BP为较长线段或较短线段，然后利用黄金分割的定义分别计算即可．

【解答】解：当BP为较长线段时，BP=AB=×45=cm，

当BP为较短线段时，BP=AB﹣AB=cm．

所以BP的长为cm或cm．

故答案为cm或cm．

11．把抛物线y=x2﹣6x+4的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是　y=x2﹣7　．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据二次函数图象平移的法则解答即可．

【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+4可化为y=（x﹣3）2﹣5，

∴向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：y=（x﹣3+3）2﹣5﹣2，即y=x2﹣7．

故答案为：y=x2﹣7．

12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ABC=　75°　．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．

【解答】解：如图，∵∠BAC=45°，∠ACB=60°，

∴∠ABC=180°﹣45°﹣60°=75°．

故答案为：75°．

13．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，AC是弦，AC=4，∠BOC=　60　°．

【考点】圆周角定理；特殊角的三角函数值．

【分析】如图，连接BC，求出∠BAC的大小，再应用圆周角定理，即可求出∠BOC的大小．

【解答】解：如图，连接BC，

，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=8，AC=4，

∴cos∠BAC===，

∴∠BAC=30°，

∴∠BOC=30°×2=60°．

故答案为：60．

14．如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（2，4）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】利用直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，然后判断出∠BAO=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2OB，根据旋转角是60°得到AB′⊥x轴，然后写出点B′的坐标即可．

【解答】解：令y=0，则﹣x+2=0，

解得x=2，

令x=0，则y=2，

∴点A（2，0），B（0，2），

∴OA=2，OB=2，

∴∠BAO=30°，

∴AB=2OB=2×2=4，

∵△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，

∴∠BAB′=60°，

∴∠OAB′=30°+60°=90°，

∴AB′⊥x轴，

∴点B′（2，4）．

故答案为：（2，4）．

15．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是　3＜x＜7　．

【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．

【分析】根据题意首先得出抛物线与x轴的交点坐标，进而画出大致图象得出不等式的解集．

【解答】解：如图所示：

∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），

∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．

故答案为：3＜x＜7．

三、解答题：本大题共8小题，共75分

16．先化简，再计算：，其中x=．

【考点】实数的运算．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=÷=•=，

当x=时，原式==+1．

17．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度数．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据AE⊥EF即可得出∠AEF=90°，从而可得出∠AEB+∠FEC=90°，利用正方形的性质即可得出∠B=90°，通过角的计算即可得出∠BAE=∠FEC，结合AG=CE、AE=EF，即可证出△AGE≌△ECF（SAS），从而得出∠AGE=∠ECF，再通过等腰直角三角形的判定与性质结合角的计算即可得出结论．

【解答】解：∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=180°﹣∠AEF=180°﹣90°=90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，

∴∠AEB+∠BAE=180°﹣90°=90°，

∴∠BAE=∠FEC．

在△AGE和△ECF中，，

∴△AGE≌△ECF（SAS），

∴∠AGE=∠ECF．

∵AB=BC，AG=CE，

∴BG=BE，

∴∠BGE=45°，

∴∠AGE=180°﹣∠BGE=180°﹣45°=135°，

∴∠ECF=135°，

∴∠FCD=∠ECF﹣∠ECD=135°﹣90°=45°．

18．某学校为了解学生进行体育锻炼的情况，对某班学生每天的体育锻炼时间进行了统计，并绘制了以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求全班学生人数和m的值；

（2）该班学生的体育锻炼时间的中位数落在　50≤x＜60　时间段；

（3）请你根据以上信息估计全校5000人中每天体育锻炼时间不少于50分钟的人数．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．

【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的30%即可得出全班学生人数，再求出m的值即可；

（2）求出A+B+C与D+E段的人数和，进而可得出结论；

（3）求出每天体育锻炼时间不少于50分钟的人数所占的百分比与总人数的积即可．

【解答】解：（1）15÷30%=50（人），m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18．

答：全班学生人数是50人，m的值是18；

（2）∵2+5+15=22，18+10=28，

∴中位数再50≤x＜60之间．

故答案为：50≤x＜60；

（3）×5000=2800（人）．

答：全校5000人中每天体育锻炼时间不少于50分钟的人数约为2800人．

19．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+2m=3，n2+2n=3，求代数式m2﹣3mn+n2﹣1的值．

【考点】根与系数的关系．

【分析】利用m2+2m=3，n2+2n=3可设m、n可看作方程x2+2x﹣3=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=﹣3，则利用完全平方公式变形得原式=（m+n）2﹣5mn﹣1，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足m2+2m﹣3=0，n2+2n﹣3=0，

∴m、n可看作方程x2+2x﹣3=0的两实数解，

∴m+n=﹣2，mn=﹣3，

∴m2﹣3mn+n2﹣1=（m+n）2﹣5mn﹣1

=（﹣2）2﹣5×（﹣3）﹣1

=18．

20．如图，在玲玲家住宅楼CD的前面新建了一个大型商场AB，当光线与地面的夹角是22°时，商场在玲玲家楼上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，商场楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求商场AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可商场AB的高度．

【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x（m）．

∵Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+13；

∵在Rt△AEM中，∠AEM=22°，

AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

∴tan22°=，

=，

解得：x=12．

答：商场AB的高度为12m．

21．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．

（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）根据图象直接写出使y1＜y2的x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据待定系数法，先求得反比例函数解析式，再求得一次函数解析式；

（2）利用坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；

（3）在函数图象上观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有的点的横坐标的集合．

【解答】解：（1）∵一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点

∴将B（1，﹣3）代入反比例函数y2=可得

m=﹣3×1=﹣3

∴反比例函数为y2=

将A（﹣2，n）代入反比例函数为y2=可得

n=，即A（﹣2，）

将A（﹣2，）、B（1，﹣3）代入一次函数y1=kx+b，可得

，解得

∴一次函数为y1=x﹣

（2）如图，设一次函数图象与y轴交于点C，则

当x=0时，y=﹣，即C（0，﹣）

∴S△AOB=S△AOC+S△COB=××2+=××1=+=

（3）根据图象可得，使y1＜y2的x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞1

22．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　①②③④　（填序号即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明过程；

（3）类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　等腰直角三角形　．

【考点】三角形综合题．

【分析】（1）操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；

（2）数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；

（3）类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论．

【解答】解：（1）操作发现：

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（AAS），

∴BD=CE，AD=AE，

∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，

∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．

∵AB=AC，

∴AF=AG=AB，故①正确；

∵M是BC的中点，

∴BM=CM．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，

即∠DBM=∠ECM．

在△DBM和△ECM中，

，

∴△DBM≌△ECM（SAS），

∴MD=ME．故②正确；

连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，

∴整个图形是轴对称图形，故③正确．

∵AB=AC，BM=CM，

∴AM⊥BC，

∴∠AMB=∠AMC=90°，

∵∠ADB=90°，

∴四边形ADBM四点共圆，

∴∠ADM=∠ABM，

∵∠AHD=∠BHM，

∴∠DAB=∠DMB，故④正确，

故答案为：①②③④

（2）数学思考：

MD=ME，MD⊥ME．

理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，

∴AF=AB，AG=AC．

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，

∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MG∥AB，

∴四边形AFMG是平行四边形，

∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．

∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，

∴∠DFM=∠MGE．

在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM=ME，∠FDM=∠GME．

∵MG∥AB，

∴∠GMH=∠BHM．

∵∠BHM=90°+∠FDM，

∴∠BHM=90°+∠GME，

∵∠BHM=∠DME+∠GME，

∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，

即∠DME=90°，

∴MD⊥ME．

∴DM=ME，MD⊥ME；

（3）类比探究：等腰直角三角形，理由如下：

∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，

∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，

∴四边形MFAG是平行四边形，

∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°

∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，

即∠DFM=∠MGE．

在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．

∵MG∥AB，

∴∠MHD=∠BFD=90°，

∴∠HMD+∠MDF=90°，

∴∠HMD+∠EMG=90°，

即∠DME=90°，

∴△DME为等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形．

23．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．

【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，

α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，

∴=﹣2，即=﹣2，

解得：m=1，

故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，

∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），

又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，

∴E点坐标为：（4，2），

作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，

则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），

连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，

此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：

延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，

则D′E′===10，

设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

∴DE===2，

∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；

（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，

∴PH=DG=4，

∴|y|=4，

∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，

解得：x3=2+，x4=2﹣，

故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．

2016年9月24日

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