(1)个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数;
(2)个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;
(3)个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;
(4)形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;
(5)形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;
(6)形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;
(7)形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;
(8)数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数;
(9)四平方和定理:每个正整数均可表示为4个整数的平方和;
(10)完全平方数的因数个数一定是奇数。
(1986年第27届IMO试题) 设正整数d不等于2,5,13,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b,使得ab -1不是完全平方数。解:显然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都为完全平方数假设2d-1为完全平方数,注意到d为正整数,2d-1为奇数 不妨设2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1此时5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方数同理 假设5d-1 13d-1 为完全平方数 可以分d为奇偶去证明.
求k的最大值,使2010可以表示为k个连续正整数之和。解:假设这k个数为 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)它们的和为 ka+k(k-1)/2=2010k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67显然k最大只能是60,此时a=4