凑微分法在考研里面也叫第一类换元法,但是叫凑微分其实更能说明本质特征,因为它不是真正意义上的换元。
求导后得到的,只是原式的一部分,并不是全部!因此,这时候就需要凑了,即上下同时乘以(除以)相同的因式,用恒等变形的办法以达到凑微分的目的。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I,G'(x)=f(x),于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数,因此,当C为任意常数时,表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。