2018常德中考数学真题试卷【Word版含答案解析】

2018年湖南省常德市中考数学试卷

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）﹣2的相反数是（　　）

A．2              B．﹣2              C．2﹣1              D．﹣

2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　）

A．1              B．2              C．8              D．11

3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞b              B．|a|＜|b|              C．ab＞0              D．﹣a＞b

4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（　　）

A．k＜2              B．k＞2              C．k＞0              D．k＜0

5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（　　）

A．甲              B．乙              C．丙              D．丁

6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（　　）

A．6              B．5              C．4              D．3

7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（　　）

A．              B．              C．              D．

8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，Dx=，Dy=．

问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）

A．D==﹣7              B．Dx=﹣14

C．Dy=27              D．方程组的解为

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）﹣8的立方根是　   　．

10．（3分）分式方程﹣=0的解为x=　   　．

11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为　   　千米．

12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是　   　．

13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是　   　（只写一个）．

14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为　   　．

15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=　   　．

16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是　   　．

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．

18．（5分）求不等式组的正整数解．

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．

20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．

（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？

22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：

（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；

（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？

（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？

（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）求证：BD=CF．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．

（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；

（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；

（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．

2018年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析　

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1．

【解答】解：﹣2的相反数是：2．

故选：A．

2．

【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，

4＜x＜10，

故选：C．

3．

【解答】解：由数轴可得，

﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，

∴a＜b，故选项A错误，

|a|＞|b|，故选项B错误，

ab＜0，故选项C错误，

﹣a＞b，故选项D正确，

故选：D．

4．

【解答】解：由题意，得

k﹣2＞0，

解得k＞2，

故选：B．

5．

【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，

∴甲的成绩最稳定，

∴派甲去参赛更好，

故选：A．

6．

【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，

∴∠C=∠DBC，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，

∴BD=2AD=6，

∴CE=CD×cos∠C=3，

故选：D．

7．

【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，

故选：D．

8．

【解答】解：A、D==﹣7，正确；

B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；

C、Dy==2×12﹣1×3=21，不正确；

D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；

故选：C．

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9．

【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2．

故答案为：﹣2．

10．

【解答】解：去分母得：x+2﹣3x=0，

解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解．

故答案为：1

11．

【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，

故答案为：1.5×108．

12．

【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，

所以这组数据的中位数为1，

故答案为：1．

13．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4×2×3＞0，

解得：b＜﹣2或b＞2．

故答案可以为：6．

14．

【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，

则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：=0.35．

故答案为：0.35．

15．

【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，

∴∠EBG=∠EGB．

∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．

又∵AD∥BC，

∴∠AGB=∠GBC．

∴∠AGB=∠BGH．

∵∠DGH=30°，

∴∠AGH=150°，

∴∠AGB=∠AGH=75°，

故答案为：75°．

16．

【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，

所以有x﹣12+x=2×3，

解得x=9．

故答案为9．

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17．

【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，

=1﹣2+1+2﹣4，

=﹣2．

18．

【解答】解：，

解不等式①，得x＞﹣2，

解不等式②，得x≤，

不等式组的解集是﹣2＜x≤，

不等式组的正整数解是1，2，3，4．

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19．

【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2

=×（x﹣3）2

=x﹣3，

把x=代入得：原式=﹣3=﹣．

20．

【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1），

∴k2=4×1=4，

∴反比例函数的解析式为y2=．

∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，

∴n=4÷（﹣2）=﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．

将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，

，解得：，

∴一次函数的解析式为y=x﹣1．

（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．

【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，

根据题意得：，

解得：．

答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．

（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，

根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．

∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，

∴a≤3（120﹣a），

解得：a≤90．

∵k=﹣10＜0，

∴w随a值的增大而减小，

∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．

∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．

22．

【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，

∴AB=CD=1．

在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，

∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．

在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，

∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CM，

又∵BE=CM，

∴四边形BEMC为平行四边形，

∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，

∴EM=≈1.4，

∴B与C之间的距离约为1.4米．

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23．

【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），

喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），

所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%，

补全条形统计图如下：

（2）500×12%=60，

所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；

（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，

所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==．

24．

【解答】证明：（1）连接OD，

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，

∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴AE是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∵AD=DF，

∴△ADF是等边三角形，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠BAF=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∵，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25．

【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，

∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，

∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y=x，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，

解方程组得，则N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=•4•t﹣•t•t

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；

（3）设Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴当=时，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；

∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；

综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

26．

【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，

∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，

∴∠OND+∠ODN=90°，

∵∠ANH=∠OND，

∴∠ANH+∠ODN=90°，

∵DH⊥AE，

∴∠DHM=90°，

∴∠ANH+∠OAM=90°，

∴∠ODN=∠OAM，

∴△DON≌△AOM，

∴OM=ON；

（2）连接MN，

∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，

∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，

∵OD=OD，

∴DM=CN=EN，

∵EN∥DM，

∴四边形DENM是平行四边形，

∵DN⊥AE，

∴▱DENM是菱形，

∴DE=EN，

∴∠EDN=∠END，

∵EN∥BD，

∴∠END=∠BDN，

∴∠EDN=∠BDN，

∵∠BDC=45°，

∴∠BDN=22.5°，

∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，

∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB，

∴BM=AB；

（3）设CE=a（a＞0）

∵EN⊥CD，

∴∠CEN=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠CNE=45°=∠ACD，

∴EN=CE=a，

∴CN=a，

设DE=b（b＞0），

∴AD=CD=DE+CE=a+b，

根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，

∵∠OAD=∠ODC=45°，

∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，

∴△DEN∽△ADE，

∴，

∴，

∴a=b（已舍去不符合题意的）

∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，

∴AN=AC﹣CN=b，

∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2

∴AN2=AC•CN．