无理数的定义 和有理数有什么区别

无理数是一种特殊的数学概念，指的是无限不循环的小数。这个概念最初由希腊数学家兼哲学家柏拉图提出，他用这个名字来表示“不可公度的比值”，即不能用整数或普通分数表示的比值。无理数的发现被认为是一场数学革命，因为它打破了人们对于数字和几何的旧有认识，揭示了数学中一些基本概念的局限性。

无理数的定义

无理数的定义有无理数也称为无限不循环小数，是不能写作两个整数之比的实数。无理数的小数表示具有无限多个不重复的数字，且没有循环模式，这意味着它们不能被写成分数的形式。常见的无理数包括非完全平方数的平方根、圆周率π和自然对数的底e。无理数是实数集R中有理数集Q的补集，因此其集合符号通常表示为CrQ。

无理数和有理数有什么区别

无理数和有理数主要有以下几种区别：概念不同。有理数包括所有的整数和分数，是有限小数或无限循环小数；无理数不能表示为两个整数的比例，是无限不循环的小数。

性质不同。有理数可以表示为两个整数的比例，例如3/8；无理数不能表示为两个整数之比，例如圆周率。

范围不同。有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）四种运算均可进行；无理数是实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

表达方式不同。有理数可以用分数表达；无理数则不能用分数表达。

无理数的三个特征

无理数的三个特征分别是：无理数是小数：这意味着无理数可以表示为小数形式。

无理数是无限小数：这表明无理数的小数点后的数字是无限的，不会终止。

无理数是不循环小数：这意味着无理数的小数部分不会出现循环模式，即每一位数字都是独一无二的，不会重复出现。

综上所述，无理数可以精确地定义为无限不循环小数，是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数。