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一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．
1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列各式运算中结果是a6是（ ）
A．a3+a3
B．（a3）3
C．a12÷a2
D．a3•a3
3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y）
D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
5．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
BH垂直平分线段AD
B．AC平分∠BAD
S△ABC＝BC•AH
D．AB＝AD
6．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB＝AC，CD＝DE．若∠A＝40°，∠ABD：∠DBC＝3：4，则∠BDE＝（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
7．多项式x2﹣mxy+9y2能用完全平方因式分解，则m的值是（ ）
A．3
B．6
C.±3
D．±6
8．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值是（ ）
A．正数
B．负数
C．等于零
D．不能确定
9．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（ ）
A．2a
B．2.5a
C．3a
D．4a
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°
B.α﹣45°
C.2分之1α
D.90°﹣2分之1α
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．把你的答案填入答题纸中相应的位置上．
11．（4分）点P（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为（ ）．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为( )．
13．（4分）已知xm＝4，xn＝3，则xm+n的值为( )．
14．（4分）若（2x﹣1）0无意义，则代数式（4x2﹣1）2008的值为( )．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是( )度．（用含α的代数式表示）
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为( )．
17．（4分）已知（a﹣2018）2+（2019﹣a）2＝5，则（a﹣2018）（2019﹣a）＝( )．
三、解答题：本大题共9小题，共62分．
18．（12分）计算下列各题：
（1）3x•6x2y
（2）（a+2b）（a﹣2b）
（3）a•a5﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2
（4）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
19．（9分）把下列各式分解因式：
（1）a2b+ab2
（2）ab2﹣4ab+4a
（3）x2（a﹣b）+y2（b﹣a）
20．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
21．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）2﹣4x（x﹣1），其中x＝
．
22．（4分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝( )．
23．已知：线段AB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点（点C不与点D重合），连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围．
②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE＝∠BCD．
24．（6分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式( )．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝( )．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝( )．
25．（7分）定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．
（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝( )DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为( )．
（2）猜想论证：
在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
（3）拓展应用
如图4，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝
，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．
①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为( )；
②直接写出△PBC的“顶心距”的长为( )．
26．（9分）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A位于( ）时，线段AC的长取得最大值，且最大值为( )（用含a、b的式子表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．
1．D．2．D．3．C．4．B．5．A．
6．B．7．D．8．B．9．C．10．D．
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．把你的答案填入答题纸中相应的位置上．
11．（2，3）．12．40°．13．答案：12．
14．0 15．180°﹣2α 16．14．17．﹣2．
三、解答题：本大题共9小题，共62分．
18．解：（1）原式＝18x3y；
（2）原式＝a2﹣4b2；
（3）原式＝a6﹣a6﹣4a6＝﹣4a6；
（4）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
＝
xy﹣．
19．解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）；
（2）ab2﹣4ab+4a＝a（b2﹣4b+4）＝a（b﹣2）2；
（3）x2（a﹣b）+y2（b﹣a）＝（a﹣b）（x2﹣y2）＝（a﹣b）（x+y）（x﹣y）．
20．解：△OEF的形状为等腰三角形．
理由如下：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF与△DCE中，
．
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠DEC．
∴OE＝OF，即△OEF的形状为等腰三角形．
21．解：原式＝x2﹣9+4x2﹣4x+1﹣4x2+4x＝x2﹣8，
当x＝根号7时，原式＝7﹣8＝﹣1．
22．解：（1）△A′B′C′即为所求；
（2）△D′E′F′即为所求；
（3）45°．
23．解：（1）直线l即为所求作的直线．（见图1）
（2）①45°≤∠ABC＜90°．
理由如下：连接AC，
当∠ACB≤90°时垂足E在线段BC上，
∵CD垂直平分AB，
∴CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵2∠CBA+∠ACB＝180°，
∴2∠CBA≥90°
∴∠CBA≥45°
∵∠CBA是锐角，
∴45°≤∠CBA＜90°
②在图2中，
证明：∵线段AB的垂直平分线为l，
∴CD⊥AB，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
∴∠BAE+∠B＝∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD．
24．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）30；
（4）156．
25．解：（1）2分之1
②3
（2）猜想：结论AM＝2分之1DE．
理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N
∵AE＝AD，AN⊥ED
∴∠DAN＝2分之1∠DAE，ND＝2分之1DE
同理可得：∠CAM＝2分之1∠CAB，
∵∠DAE+∠CAB＝180°，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，
∵∠CAM+∠C＝90°
∴∠DAN＝∠C，
∵AM⊥BC
∴∠AMC＝∠AND＝90°
在△AND与△AMC中，
∴△AND≌△AMC（AAS），
∴ND＝AM
∴AM＝2分之1DE
（3）①线段BC的垂直平分线交AC于点P，
②2分之根号3
解：（1）CB的延长线上，a+b；
（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝6；
（3）连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝根号2AP＝2根号2，
∴最大值为2 根号2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝根号2，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣根号2＝2﹣根号2，
∴P（2﹣根号2，根号2）．
如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2﹣根号2，﹣根号2）时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标（2﹣根号2，根号2）或（2﹣根号2，﹣根号2），AM的最大值为2
+3．
