1到20素数有2、3、5、7、11、13、17、19。
素数又叫质数,有无限个。质数定义为一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
(1)在一个大于1的数a和它的2倍之间必存在至少一个素数。一个偶数可以写成两个合数之和,其中每一个合数都最多只有9个质因数。(挪威数学家布朗,1920年)
(2)一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数,其中合数的因子个数有上界。(瑞尼,1948年)
(3)一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。
(4)一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。
上下素性判定法
首先,本文英文字母都表示整数,上半部B》3N》W,下半部B》W》3N。大于3的素数只有6N-1和6N+1两种形式,我们只需判定这两种数是素数还是合数即可。
命题1对于B=36N+1形数而言。
若不定方程(3N)^2+N-(B-1)/36=W^2有整数解,
则6(3N-W)+1是小因子数;6(3N+W)+1是大因子数。
若不定方程(3N)^2-N-(B-1)/36=W^2有整数解,
则6(3N-W)-1是小因子数;6(3N+W)-1是大因子数。
两式都无解,是素数。
命题2对于B=36N+7形数而言。
若不定方(3N)^2+4N-(B-7)/36=W^2+W有整数解,
则6(3N-W)+1是小因子数,6(3N+W+1)+1是大因子数。
若不定方程(3N+2)^2+2N+2-(B+29)/36=W^2+W有整数解,
则6(3N+2-W)-1是小因子数,6(3N+W+3)-1是大因子数。
两式都无解,是素数。
命题3对于B=36N+13形数而言。
若不定方程(3N+1)^2+N-(B-13)/36=W^2有整数解,
则6(3N+1-W)+1是小因子数,6(3N+1+W)+1是大因子数。
若不定方程(3N+2)^2-N-(B+23)/36=W2有整数解,
则6(3N+2-W)-1是小因子数,6(3N+2+W)-1是大因子数。