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    分段函数的定义域是什么

    文/陶凯月

    分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,那么要怎么求分段函数的定义域呢?下面和小编一起了解一下吧,供大家参考。

    分段函数的定义域是什么

    分段函数是什么

    分段函数,就是对于自变量x的不同的取值范围,有着不同的解析式的函数。它是一个函数,而不是几个函数;分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。

    怎么求分段函数的定义域

    定义域是函数的三要素(定义域、值域、对应法则)之一,对应法则的作用对象。指函数自变量的取值范围,即对于两个存在函数对应关系的非空集合D、M,集合D中的任意一个数,在集合M中都有且仅有一个确定的数与之对应,则集合D称为函数定义域。

    所以分段函数的定义域就是每个函数的定义域的并集,要先求出每个函数的定义域然后再求所有定义域的并集。

    函数类型

    1、分界点左右的数学表达式一样,但单独定义分界点处的函数值。

    某商场举办有奖购物活动,每购100元商品得到一张奖券,每1000张奖券为一组,编号为1号至1000号,其中只有一张中特等奖,特等奖金额5000元,开奖时,中特等奖号码为328号,那么,一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为:

    0,x≠328

    y={5000,x=328}

    2、分界点左右的数学表达式不一样。

    某商店卖西瓜,一个西瓜的重量若在4kg以下(包括4kg),则销售价格为0.6元/kg;若在4kg以上,则销售价格为0.8元/kg,那么,一个西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为,0<x≤4。

    分段函数题型

    1、求函数值

    例1已知函数f(x)=求f(3)的值。

    解:由3∈(-∞,6),知f(3)=f(3+2)=f(5),

    又5∈(-∞,6),所以f(5)=f(5+2)=f(7).

    又由7∈[6,+∞)所以f(7)=7-2=5,因此,f(3)=5。

    求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止。

    2、求函数值域

    例1求函数f(x)=的值域。

    解:当-2≤x≤a时,x2的取值有三种情形:

    (1)当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4;

    (2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4;

    (3)当a>2时,有0≤x2≤a2

    当x>a时,-|x|的取值有两种情形:

    (1)当-2≤a<0时,有-|x|≤0,

    (2)当a≥0时,有-|x|<-a。

    所以原函数的值域为:

    (1)当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4];

    (2)当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4];

    (3)当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]

    求分段函数的值域的方法:分别求出各段函数在其定义区间的值域,再取它们的并集即可。

    3、函数的奇偶性

    例1判断下列函数的奇偶性

    (1)f(x)=(2)f(x)=

    解:(1)∵当x>0时,-x<0,f(x)=ex,f(-x)=-e-(-x)=-ex,

    即有f(x)=-f(-x),同理,当x<0时,也有f(x)=-f(-x)

    ∴函数f(x)是奇函数。

    (2)∵当x=0时,f(0)=f(-0)=0,

    当x>0时,-x<0,f(x)=x(1-x),f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x),

    即有f(x)=f(-x),同理,当x<0时,也有f(x)=f(-x).

    ∴函数f(x)是偶函数。

    判断分段函数的奇偶性的方法:先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇(偶)函数,再由x>0,-x<0,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值,若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0,则f(x)是奇函数;若有f(x)=f(-x),则f(x)是偶函数。

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