分段函数,就是对于自变量x的不同的取值范围,有着不同的解析式的函数。它是一个函数,而不是几个函数;分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。
定义域是函数的三要素(定义域、值域、对应法则)之一,对应法则的作用对象。指函数自变量的取值范围,即对于两个存在函数对应关系的非空集合D、M,集合D中的任意一个数,在集合M中都有且仅有一个确定的数与之对应,则集合D称为函数定义域。
所以分段函数的定义域就是每个函数的定义域的并集,要先求出每个函数的定义域然后再求所有定义域的并集。
1、分界点左右的数学表达式一样,但单独定义分界点处的函数值。
某商场举办有奖购物活动,每购100元商品得到一张奖券,每1000张奖券为一组,编号为1号至1000号,其中只有一张中特等奖,特等奖金额5000元,开奖时,中特等奖号码为328号,那么,一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为:
0,x≠328
y={5000,x=328}
2、分界点左右的数学表达式不一样。
某商店卖西瓜,一个西瓜的重量若在4kg以下(包括4kg),则销售价格为0.6元/kg;若在4kg以上,则销售价格为0.8元/kg,那么,一个西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为,0<x≤4。
1、求函数值
例1已知函数f(x)=求f(3)的值。
解:由3∈(-∞,6),知f(3)=f(3+2)=f(5),
又5∈(-∞,6),所以f(5)=f(5+2)=f(7).
又由7∈[6,+∞)所以f(7)=7-2=5,因此,f(3)=5。
求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止。
2、求函数值域
例1求函数f(x)=的值域。
解:当-2≤x≤a时,x2的取值有三种情形:
(1)当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4;
(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4;
(3)当a>2时,有0≤x2≤a2
当x>a时,-|x|的取值有两种情形:
(1)当-2≤a<0时,有-|x|≤0,
(2)当a≥0时,有-|x|<-a。
所以原函数的值域为:
(1)当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4];
(2)当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4];
(3)当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]
求分段函数的值域的方法:分别求出各段函数在其定义区间的值域,再取它们的并集即可。
3、函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=(2)f(x)=
解:(1)∵当x>0时,-x<0,f(x)=ex,f(-x)=-e-(-x)=-ex,
即有f(x)=-f(-x),同理,当x<0时,也有f(x)=-f(-x)
∴函数f(x)是奇函数。
(2)∵当x=0时,f(0)=f(-0)=0,
当x>0时,-x<0,f(x)=x(1-x),f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x),
即有f(x)=f(-x),同理,当x<0时,也有f(x)=f(-x).
∴函数f(x)是偶函数。
判断分段函数的奇偶性的方法:先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇(偶)函数,再由x>0,-x<0,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值,若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0,则f(x)是奇函数;若有f(x)=f(-x),则f(x)是偶函数。