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    线面平行的性质定理

    文/颜雨

    一条直线与一个平面无公共点(不相交),称为直线与平面平行。线面平行的性质定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。

    线面平行的性质定理

    线面平行的性质定理一

    平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

    已知:a∥b,a⊄α,b⊂α,求证:a∥α

    反证法证明:假设a与α不平行,则它们相交,设交点为A,那么A∈α

    ∵a∥b,∴A不在b上

    在α内过A作c∥b,则a∩c=A

    又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,与a∩c=A矛盾。

    ∴假设不成立,a∥α

    线面平行的性质定理二

    平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。

    已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。求证:a∥α

    证明:设a与b的垂足为A,b与α的垂足为B。

    假设a与α不平行,那么它们相交,设a∩α=C,连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面,因此ABC首尾相连得到△ABC

    ∵B∈α,C∈α,b⊥α

    ∴b⊥BC,即∠ABC=90°

    ∵a⊥b,即∠BAC=90°

    ∴在△ABC中,有两个内角为90°,这是不可能的事情。

    ∴假设不成立,a∥α。

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