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凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。那么勾股数有什么规律吗？下面和小编一起了解一下吧，供大家参考。
1、第一组勾股数
3，4，5
5，12，13
7，24，25
9，40，41
11，60，61
13，84，85
15，112，113
首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。
我们用乘方进行尝试。先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
3²=9，5²=25，7²=49
大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即：
3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25
我们再试几组进行验证。
9²=81=40+41，11²=121=60+61
目前看来这个规律是正确的。我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律：
一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。
设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。
2、第二组勾股数
6，8，10
8，15，17
10，24，26
12，35，37
14，48，50
16，63，65
18，80，82
我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
6²=36，10+8=18
8²=64，15+17=32
10²=100，24+26=50
这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。
12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)
初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：
设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：
m，(m²/4)-1，(m²/4)+1
验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²
=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]
=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1
=m²
验证成功，可总结为以下规律：
当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。
设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1。
3、特殊的勾股数规律
①12，16，20②18，24，30
首先根据勾股定理可以判断它们都是勾股数。但是仔细观察，我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。
3，4，5分别乘4得12，16，20
6，8，10分别乘3得18，24，30
一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：
任意一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：
设a²+b²=c²，则a，b，c分别乘n后为:
(na)²+(nb)²
=n²a²+n²b²
=n²(a²+b²)
=n²c²
=(nc)²
总结规律为一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数。